Matrices

[celian]

Bonsoir , j'ai un exercice sur les matrices qui est celui ci :

Soit E le R-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans R . Considérons les 4 éléments suivants de E :

e1 =
1 0
1 0

e2 =
1 0
0 1

e3 =
0 1
1 0

e4 =
3 3
4 2 .

Soit Vect(e1,e2,e3,e4) le sous espace vectoriel de E engendré par e1,e2,e3,e4 .

1) A quelle condition sur a,b,c,d la matrice :

a b
c d

appartient elle à Vect (e1,e2,e3,e4) ?

Ma réponse : il faut que a,b,c,d soient des combinaisons linéaires des coefficients des autres matrices .

2) Soit A =
a b
c d

un élément de Vect(e1,e2,e3,e4) . Ecrire A comme combinaison linéaire de A de e1,e2,e3,e4 .

Ma réponse :

A = a(A1) + b(A2) + c(A3) + d(A4)
A =

a+b+3d c+3d
a+c+4d b+2d

Cette écriture n'est pas unique car on peut multiplier les coefficients par un meme scalaire .

Mes réponses sont elles valables?

Grand merci .

[celian]

quelqu'un peut il m'aider svp ?

[neibaf]

Bonjour,

tu n'as pas été assez courageux, tu devrais résoudre les systèmes...

Pour ta première question, tu dois avoir :


et si tu résouds ce système, tu te rends compte que ça ne marche qu'à la condition que si je ne me suis pas trompé...

[celian]

oui effectivement j'ai refait le systeme sur papier et je trouve la meme chose que toi , mais là tu as répondu à la question 1) et 2) en meme temps non ?

car l'écriture de la combinaison linéaire c'est justement ce systeme , n'est ce pas ?

[celian]

Montrer que (1,e2,e3) est une base Vect(e1,e2,e3,e4) .

Une base est une famille libre et génératrice .

a+b = 0
c = 0
a+c = 0
b = 0

La famille est bien libre .

a+b = x
c = y
a+c = z
b = t

donc a = x-t , b = t , c = y La famille est génératrice , donc nous avons bien une base , etes vous d'accord ?

[neibaf]

Bonsoir,

désolé, je ne viens pas toujours régulièrement sur le site...

C'est quoi 1 dans ta liste de matrices ? la matrice identité ? la matrice 1 en haut à gauche et que des 0 ?
Sinon, pour montrer que c'est générateur, il suffit de montrer que tu peux faire une combinaison linéaire pour avoir e1 et e4