Matrices

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sasaaa84
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Matrices

par sasaaa84 » 08 Avr 2021, 21:50

Bonsoir,

dans mon exercice de maths on me donne deux matrices A et P. Dans les premières questions j'ai du montrer que P est inversible puis j'ai calculé P^-1, j'ai ensuite calculé la matrice D=P^-1AP qui est diagonale et je dois à présent exprimer A en fonction de P, D et P^-1 sauf que je ne vois pas comment faire...

Pouvez-vous m'éclairer svp ?



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Re: Matrices

par fatal_error » 08 Avr 2021, 22:07

slt,

ben tu multiplies tlm à gauche par P
PD = PP^-1AP = IAP
puis tlm à droite par P^-1
la vie est une fête :)

sasaaa84
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Re: Matrices

par sasaaa84 » 08 Avr 2021, 22:38

Donc du coup j'obtiens PDP^-1=IAPP-1=2IA=A ?
Mais comment je peux justifier cette opération ?

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Re: Matrices

par fatal_error » 09 Avr 2021, 08:49

quelle opération?
la vie est une fête :)

sasaaa84
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Re: Matrices

par sasaaa84 » 09 Avr 2021, 15:58

Le fait de multiplier par P puis par P^-1 ?

hdci
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Re: Matrices

par hdci » 09 Avr 2021, 16:09

Soit A=B.

JE multiplie à droite la matrice A par une matrice M : j'obitens AM.
Qu'est-ce que je peux dire de BM, sachant que A et B, c'est la même matrice (compte tenu de l'égalité) ?

PS.
C'est exactement la même chose quand au collège ou au lycée on manipule des égalités de nombres : quand on multiplie un membre, on multiplie l'autre membre par la même chose... La grosse différence avec les matrices, c'est la latéralisation car la multiplication n'est pas commutative.

Ceci dit, je ne comprends pas bien
sasaaa84 a écrit:Donc du coup j'obtiens PDP^-1=IAPP-1=2IA=A ?


D'où vient le "2I" ? Puis pourquoi le 2 disparaît ?
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

Vassillia
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Re: Matrices

par Vassillia » 09 Avr 2021, 16:21

Bonjour,

Pour compléter la problématique de hdci, il aurait fallu écrire

En règle général, (c'est la non commutativité dont parle hdci même si dans le cas où cela n'a pas d'importance) et de toute façon et en aucun cas or je suis pratiquement certaine que c'est le raisonnement que tu as fais

sasaaa84
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Re: Matrices

par sasaaa84 » 09 Avr 2021, 16:45

Oups c'est vrai j'ai écrit IAI=2IA ce qui est faux, merci !!
Merci hdci je n'avais pas bien compris cela, c'est beaucoup plus clair maintenant.

sasaaa84
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Re: Matrices

par sasaaa84 » 09 Avr 2021, 16:47

J'avais une autre question, comment montrer qu'une matrice de taille 3 est inversible ? Pour une matrice de taille 2 on calcule ad-bc mais pour une matrice de taille 3 je ne vois pas...

Vassillia
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Re: Matrices

par Vassillia » 09 Avr 2021, 16:53

Tout dépend de ton programme (et donc de ta formation),
- si tu connais le déterminant, tu calcules le déterminant. S'il est non nul alors la matrice est inversible
- si tu ne connais pas le déterminant, tu commences le pivot de Gauss jusqu'à avoir une matrice triangulaire. Si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls alors la matrice est inversible

hdci
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Re: Matrices

par hdci » 09 Avr 2021, 16:55

La théorie des déterminants existe pour toute matrice carrée, mais le calcul est "de plus en plus complexe". Et la règle reste la même : matrice inversible ssi le déterminant est non nul.

Il est encore relativement simple pour la matrice 3x3 : on fait la somme des produits des diagonales descendantes, moins, la somme des produits des diagonales montantes.

Sachant que par "diagonale", j'entends la diagonale principale, mais également celle par "complémentation" : ainsi



les trois diagonales descendantes sont (a,e,i), puis (b,f,g), puis (c,d,h)
les trois diagonales montantes sont (g,e,c), puis (h,f,a), puis (i,d,b)

Donc le déterminant est
Il n'y a que 10 types de personne au monde : ceux qui comprennent le binaire et ceux qui ne le comprennent pas.

sasaaa84
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Re: Matrices

par sasaaa84 » 09 Avr 2021, 18:19

Je n'ai pas vu le calcul du déterminant pour une matrice de taille 3, je vais donc utiliser la méthode du pivot de Gauss. Merci beaucoup à vous pour votre aide et bonne journée !!

 

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