Matrices

[Darlene56]

Bonjour,
j'ai un exercice de 7 questions à faire avec des matrices, mais j'ai du mal et pas mal de doutes...

On considère l'application linéaire f : R4 → R4 définie par: f(x, y, z, t) = (-2y, x+3y,-9z-12t, 8z+11t).

1) Écrire la matrice A de l'application linéaire f en base canonique de R4.

J'ai trouvé que la matrice était:
(0 -2 0 0)
(1 3 0 0)
(0 0 -9 -12)
(0 0 8 11)
mais je ne suis vraiment pas sûre. Est-ce bien le bon résultat?

2) Déterminer le noyau et l'image de f. Donner une base du noyau et de l'image et en déduire leur
dimensions respectives.

ker f ={ (x,y,z,t) ∈ R4 | f(x,y,z,t) = 0 = (0,0,0,0)}

donc je dois résous le système suivant:
-2y = 0
x+3y = 0
-9z-12t = 0
8z+11t=0

et je trouve:
y = 0
x = 0
z = (-4/3)t
z = (-11/8)t

est-ce satisfaisant comme réponse?

[tournesol]

resous correctement
-9z-12t=0
8z+11t=0
tout le reste est juste .

[Darlene56]

-9z-12t=0 <=> z = -(12/9)t

-8(12/9)t + 11t = 0

-(32/3)t + 11t = 0
-(32/3)t + (33/3)t = 0
(1/3)t = 0
t = 0

donc -9z-12t=0 <=> -9z-0=0 <=> -9z = 0 <=> z=0 ?

[tournesol]

tout est OK

[Darlene56]

Merci !! Je continue donc: puisque Ker f = ({0,0,0,0}) alors dim de ker f = 0, donc elle est injective

Pour l'image de f, j'ai résolu ce système:
-2y = X
x+3y = Y
-9z-12t = Z
8z+11t = T

ce qui me donne donc:
y = -X/2
x = Y + (3/2)X
t = (8/3)Z + 3T
z = -4T - (11/3)Z

donc (Y + (3/2)X , -X/2, -4T - (11/3)Z, (8/3)Z + 3T) est un antécédant de (X,Y,Z,T)
donc dim de im f = R4, donc f est surjective

est-ce que c'est bien ça?

[tournesol]

Soit f une application lineaire de E dans F .
Si E est de dimension finie , alors dim(im f)+dim(ker f)=dim(E) (=4 dans notre cas) .
Apres avoir montré que dim( ker f)=0 , on obtient dim(im f)=4 et donc im f =R4
Tes calculs sont corrects mais la simplicité de la réponse oblige à se demander si tu as bien recopié l'énoncé ?