Matrices

[wdbg59]

Bonjour, j'essaie de résoudre un exercice d'annales en algèbre.

Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels telle que A²+In=0 où In est la matrice identité d'ordre n et O la matrice nulle.

a) Montrer que A n'admet pas de valeur propre réelle.
b) En déduire qu'il n'existe aucune matrice carrée à coefficients réels d'ordre impair telle que A²+In=0
c) Soit A une matrice carrée d'ordre n à coefficients réels telle que A²+In=0. la matrice A est-elle diagonalisable sur R ? sur C ?

Ce que je comprends pas, c'est que la matrice A doit avoir des coef réels. Dans la question a) , je fais A²+In=0 <==> A²=-In. A² matrice diagonale avec les coef égal à -1. Donc A matrice diagonale avec les coef complexes i. Donc comment A peut-elle être une matrice réelle ? Je trouve bien i comme valeur propre, donc valeur propre complexe, ce qui répond à la question a) , mais avec A matrice complexe. Je ne pense pas que ce soit une erreur de rédaction car il s'agit d'un exercice tiré d'un examen.

[L.A.]

Bonsoir,

tu vas un peu vite en besogne : si A^2 est diagonale tu ne peux pas en déduire que A est diagonale, par (contre-)exemple

[Monsieur23]

Aloha,

Pourquoi A^2 diagonale impliquerait A diagonale ?

Pour la qquestion a par contre, tu peux peut-être trigonaliser A dans C? Où peux-tu alors voir les valeurs propres de A?

[wdbg59]

Ok, je vais réfléchir à ça. La seule méthode que je connais c'est le polynôme caractéristique pour trouver les valeurs propres. Donc il me faut A à partir de A². Avec A² seulement, je sais pas faire. Le problème c'est que l'algèbre c'est pas mon truc. Etant en licence de physique, et non de maths. Surtout que l'examen est commun avec les matheux, donc les même exigences que les matheux...

[L.A.]

Tu peux d'abord montrer par un petit calcul que si P est un polynôme annulateur de A alors toute valeur propre de A est une racine de P. En particulier, si A est annulée par un polynôme qui n'a que des racines complexes non réelles, alors A ne peut pas avoir de valeur propre réelle.

[chombier]

Je suis parti de la définition d'une valeur propre en raisonnant par analyse-synthèse :

Si lambda est une valeur propre de A, alors il existe un vecteur X non nul tel que alors






(car X est non nul)

donc dans R, A n'a pas de valeurs propres, et dans C elle en a au plus deux : -1 et 1

[zygomatique]

salut

le polynome caractéristique a même degré que l'ordre de la matrice

si n est impair alors il est impair et admet au moins une racine réelle ....

[wdbg59]

C'est bon j'ai réussi ^^ Merci pour vos conseils.