Matrices

[Jzk]

Salut,

j'ai une question à faire dans un QCM et je bloque un peu:

L'équation matricielle M²=I(2) d'inconnue M;)M2(R)

-n'a pas de solution.
-a un ensemble de solutions qui forme un sous-espace vectoriel de M2(R) .
-a pour solutions les matrices des endomorphismes u de R2 qui vérifient (u;)id);)(u+id)=0 où id est l'endomorphisme identité.
-a des matrices solutions qui sont toutes inversibles.

Pour moi une matrice qui au carré vaut la matrice identité ne peut être que la matrice identitée elle même non?
Je ne vois pas quelle réponse pourrait correspondre à mon raisonement, je ne sais même pas s'il est juste, quelqu'un pourrait-il m'aiguiller?

Merci beaucoup

[BiancoAngelo]

Salut,

j'ai une question à faire dans un QCM et je bloque un peu:

L'équation matricielle M²=I(2) d'inconnue M;)M2(R)

-n'a pas de solution.
-a un ensemble de solutions qui forme un sous-espace vectoriel de M2(R) .
-a pour solutions les matrices des endomorphismes u de R2 qui vérifient (u;)id);)(u+id)=0 où id est l'endomorphisme identité.
-a des matrices solutions qui sont toutes inversibles.

Pour moi une matrice qui au carré vaut la matrice identité ne peut être que la matrice identitée elle même non?
Je ne vois pas quelle réponse pourrait correspondre à mon raisonement, je ne sais même pas s'il est juste, quelqu'un pourrait-il m'aiguiller?

Merci beaucoup

D'abord, si M est une matrice carrée, on a :

Si , alors qui signifie que

En effet, est inversible car

[Jzk]

Oui,

toutes ses solutions sont inversibles, sinon ça n'aurait pas de sens, mais je trouve ça assez abstrait, je veux dire, combiens de matrices à part la matrice identité sont leur propre inverse?

Je trouve ça assez...compliqué à comprendre, et je n'arrive pas à me trouver un exemple :p

Merci de ton aide!

[BiancoAngelo]

Oui,

toutes ses solutions sont inversibles, sinon ça n'aurait pas de sens, mais je trouve ça assez abstrait, je veux dire, combiens de matrices à part la matrice identité sont leur propre inverse?

Je trouve ça assez...compliqué à comprendre, et je n'arrive pas à me trouver un exemple :p

Merci de ton aide!

Ici, les matrices sont d'ordre 2.

Donc on peut écrire :



On peut calculer facilement... et dire qu'elle vaut I.

[BiancoAngelo]

Si on pose , on a alors le système :

[Jzk]

Donc si j'ai bien compris, la seule réponse logique est la dernière: toutes les solutions sont inversibles.

[Ben314]

Salut,
Ne pas perdre de vu que les matrices 2x2, ça correspond a des endomorphismes de R^2, c'est a dire a des "transformations géométriques linéaires".
Donc, par exemple (et de façon évidente), toute matrice correspondant à une symétrie axiale va vérifier A²=I2 (si on fait deux fois la symétrie, on retombe sur le point de départ) ce qui montre au moins un truc, c'est qu'il n'y a pas que l'application identité à vérifier A²=Id mais une infinité.
Si on veut être encore plus "calculatoire", par exemple les applications (x,y)->(x,-y) ; (x,y)->(-x,y) ; (x,y)->(y,x) sont des symétries (par rapport à l'axe des x, à l'axe des y, à la droite y=x) donc correspondent à des matrices A telles que A²=I2.

[BiancoAngelo]

Si on pose , on a alors le système :

Du coup, on a :





Comme tous les coefficients ne peuvent être tous nuls, on a bien une équation qui donne que

vaut donc soit 1 soit -1, donc aussi, donc \det M aussi.

On voit bien en détaillant tout ça qu'il faut simplement un déterminant égal à 1 ou -1 pour que ça fonctionne, et seulement cette condition.

Donc tu prends n'importe quelle matrice inversible, tu divises ses coefficients pour que son déterminant vaille 1 ou -1, et tu as une matrice qui fonctionne pour ton problème.

C'est le truc "calculatoire" comparé à Ben qui te montre l'aspect à ne pas oublier : ce que ça SIGNIFIE.

EDIT : en l'occurrence, pour une matrice M 2x2, il faut donc diviser les coefficients par (+ ou -) la racine carrée de la valeur absolue du déterminant de M.

[BiancoAngelo]

Donc si j'ai bien compris, la seule réponse logique est la dernière: toutes les solutions sont inversibles.

Il y a d'autres choses à dire :lol3:

[Ben314]

On voit bien en détaillant tout ça qu'il faut simplement un déterminant égal à 1 ou -1 pour que ça fonctionne, et seulement cette condition.

Si alors et

En fait, si det(A)=-1, il faut et il suffit que la trace soit nulle pour que A²=I vu que dans ce cas, le polynôme caractéristique
Et, si det(A)=1, il faut et il suffit que A=I ou A=-I pour que A²=I vu que dans ce cas, le polynôme caractéristique est qui doit avoir un pgcd non trivial avec et que ce pgcd ne peut être que ou .

[BiancoAngelo]

Si alors et

En fait, si det(A)=-1, il faut et il suffit que la trace soit nulle pour que A²=I vu que dans ce cas, le polynôme caractéristique
Et, si det(A)=1, il faut et il suffit que A=I ou A=-I pour que A²=I vu que dans ce cas, le polynôme caractéristique est qui doit avoir un pgcd non trivial avec et que ce pgcd ne peut être que ou .

Oui merci Ben, je venais de m'apercevoir que j'avais écrit des bêtises, j'ai tout supprimé. Effectivement, ce n'était pas la seule condition, juste une nécessaire...

Merci des précisions, j'étais à l'ouest

[BiancoAngelo]

En tout cas Jzk, toi qui voulait un exemple :

par exemple, fonctionne très bien.

[Jzk]

Merci à vous deux!