Matrices

[Elganar]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire durant la semaine et je bloque un peu:

On a deux matrices, une L, matrice colonne avec (l1 l2 ... ln) et la matrice C du même format en colonnes. On suppose LC = -1. Calculer la matrice (I+CL)C.

Pour ça je trouve 0.

Ensuite, en déduire par l'absurde que (I+CL) n'est pas inversible, je ne vois pas trop comment m'y prendre, j'ai posé B=C^-1 et cherche à montrer que nous n'avons pas CB=BC=1

Merci d'avance pour votre aide :)

[Ben314]

Déjà, si tu pose B=C^{-1}, c'est que tu suppose que C est inversible alors que rien ne te permet de l'affirmer.
Ensuite, en "posant B=C^{-1}", ben ça veut dire que tu as "posé" BC=CB=I (évite d'écrire 1 pour la matrice identité) et, pour le moment, je vois pas trop comment tu risque de montrer que ce n'est pas vrai (il me semble bien que, quand on "pose" un truc, ça veut dire qu'on suppose que c'est vrai).

En bref... c'est pas bon...

Reprenons : On te dit de montrer par l'absurde que I+CL n'est pas inversible.
Donc ce que tu suppose, c'est que I+CL est inversible, c'est à dire qu'il existe une matrice B telle que B(I+CL)=(I+CL)B=I.
Et il faut trouver une contradiction. et ce n'est évidement pas de la seule formule B(I+CL)=(I+CL)B=I que risque de provenir la contradiction (si on prend au pif des matrices C et L, il est tout a fait possible que I+CL soit inversible)
Donc la contradiction, elle va venir d'où ? Ben... de ce qu'on sait sur C et L, c'est à dire que (I+CL)C=0.

Si je te donne une petite indic, à savoir qu'il faut utiliser B(I+CL)=I ainsi que (I+CL)C=0, tu trouve ?

[Elganar]

Merci pour ta réponse,

Je comprends pas pourquoi je n'ai pas le droit de mettre "je pose" puisqu'il s'agit justement d'un raisonnement par l'absurde :)

EDIT: Finalement je suis loin du compte ^^

Merci beaucoup :)

[Ben314]

Je comprends pas pourquoi je n'ai pas le droit de mettre "je pose" puisqu'il s'agit justement d'un raisonnement par l'absurde

Je n'ai pas dit que tu n'avais pas le droit de "supposer C inversible", ce que j'ai dit, c'est que, lorsqu'on te dit de montrer par l'absurde que I+CL était non inversible, ça t'impose de faire l'hypothèse I+CL non inversible.
Si besoin est, tu peut rajouter d'autres hypothèses dans ta preuve, sauf que :
1) Ici "besoin n'est pas"... :hein:
2) Si a un moment de la preuve tu faisait l'hypothèse que C est inversible, il faudrait aussi traiter plus loin le cas où C n'est pas inversible.


Bon, sinon, tu as trouvé ta preuve ?

[Elganar]

D'accord merci,

hum je suis pas très certain mais voici ma piste:

Comme on a (I+CL)C=0 ceci implique soit C=0 soit (I+CL)=0 or I+CL=B^-1 donc différent de 0 et C la matrice colonne différente de 0, ceci implique que la proposition est fausse?

[Ben314]

Ben... non....
C'est l'erreur de base à ne pas commettre : contrairement aux réels ou au complexes, lorsqu'un produit de matrice est nul, on n'en déduit pas du tout qu'une des deux est nulle :

Pire,

Les trois trucs nouveaux (entre autre) auxquels il faut s'habituer concernant le calcul "algébrique" sur les matrices, c'est :
- Un élément non nul n'est pas forcément inversible.
- C'est pas commutatif (donc, même si est inversible, on ne peut pas écrire vu qu'on ne sait pas si ça désigne ou )
- Quand un produit est nul, on a pas forcément l'un des facteurs qui est nul.

[Elganar]

Ah ouais merci, du coup j'avoue que je suis un peu perdu :(

[Ben314]

Si je te donne une petite indic, à savoir qu'il faut utiliser B(I+CL)=I ainsi que (I+CL)C=0, tu trouve ?

Vu que le terme de droite de la première formule est le même que le terme de gauche de la deuxième, il peut venir à l'esprit d'évaluer (de 2 façons différentes) le produit B(I+CL)C.

[Elganar]

On aurait B(I+CL)C = IC donc B(I+CL)C=C d'une part, ce qui est logique.
Et d'une autre B(I+CL)C=B*0 soit B(I+CL)C une matrice nulle. Or C n'est pas nulle.

Mais ça me semble bizarre aussi :/

[chombier]

Déjà, si tu pose B=C^{-1}, c'est que tu suppose que C est inversible alors que rien ne te permet de l'affirmer.
Ensuite, en "posant B=C^{-1}", ben ça veut dire que tu as "posé" BC=CB=I (évite d'écrire 1 pour la matrice identité) et, pour le moment, je vois pas trop comment tu risque de montrer que ce n'est pas vrai (il me semble bien que, quand on "pose" un truc, ça veut dire qu'on suppose que c'est vrai).

En bref... c'est pas bon...

Reprenons : On te dit de montrer par l'absurde que I+CL n'est pas inversible.
Donc ce que tu suppose, c'est que I+CL est inversible, c'est à dire qu'il existe une matrice B telle que B(I+CL)=(I+CL)B=I.
Et il faut trouver une contradiction. et ce n'est évidement pas de la seule formule B(I+CL)=(I+CL)B=I que risque de provenir la contradiction (si on prend au pif des matrices C et L, il est tout a fait possible que I+CL soit inversible)
Donc la contradiction, elle va venir d'où ? Ben... de ce qu'on sait sur C et L, c'est à dire que (I+CL)C=0.

Si je te donne une petite indic, à savoir qu'il faut utiliser B(I+CL)=I ainsi que (I+CL)C=0, tu trouve ?

J'essaye :
B(I+CL)=I, donc B(I+CL)C=C
or (I+CL)=0, donc B.0 = C, donc C=0
or LC=-1... donc...

[Ben314]

J'essaye :
B(I+CL)=I, donc B(I+CL)C=C
or (I+CL)=0, donc B.0 = C, donc C=0
or LC=-1... donc...

Si C était nulle on aurait effectivement LC=0.
(Si un produit est nul, alors on n'a pas forcément un des facteurs nul, mais par contre, si un des facteurs est nul, là on est sûr que le produit est nul : ne pas confondre une implication avec sa réciproque)
Et LC=0 contredit l'hypothèse LC=-I.