Matrices.

[Sourire_banane]

Salut,

J'ai deux matrices A et B qui commutent et qui sont nilpotentes. Je veux montrer que A+B est nilpotente.
Alors j'écris qu'il existe un rang k0 à partir duquel A^{k0}=(0) et un rang k1 à partir duquel B^{k1}=(0).
Alors pour n plus grand que k1 ou k0 (là je suis pas très clair) et il existe un rang (a=min(k0,k1) je présume ?) à partir duquel on a B^a*A^a=A^a*B^a=(0).
Mais alors je me demande s'il est juste d'écrire A^{n-2k}. Parce que si k vaut n on a une puissance négative. Or on n'a pas montré que A ou B pouvait être inversible. Ou peut-être que je me mélange les pinceaux.
Una pequeña idea ?
Moustache gracias !

[Sylviel]

Il y a de l'idée mais tu n'y es pas tout à fait. Déjà y'a de très forte chance pour que A ne soit pas inversible... Si c'était le cas alors A^n le serait aussi :dodo:

L'idée c'est de faire en sorte que chaque terme de ta somme soit nul. A toi de trouver comment :zen:

[Sourire_banane]

Salut Sylviel !

Bon je suis déjà rassuré d'être sur la bonne voie, mais reste encore à savoir comment faire... J'ai pensé à tricher un peu en prenant 2n ou 4n au lieu de n, puisque ça ne change rien vis à vis des hypothèses, et s'il le faut je pourrai scinder ma somme comme il le faut (?)

Edit : Ca marche si je pose :
n>max(k1,k0) et ??? Et oui j'avais aussi oublié les coeff binomiaux...

[arnaud32]

comme tes matrices commutent tu as:

tu prends
pour
et donc et
...

[Sourire_banane]

Aaaaah d'accord !
Merci arnaud32 et Sylviel ;)

[Sylviel]

Une remarque : un exercice archi classique (suite des noyaux itérés) dis que si A (de taille nXn) est nilpotente alors A^n=0. Du coup tu peux montrer que
(A+B)^(2n) = 0
(en effet pour les n premiers termes de ta somme tu as A^(2n-k)=0, et pour les n suivants tu as B^k=0). Donc (A+B) est nilpotente et tu as même (A+B)^n=0. ça évite juste de s'embrouiller avec les k0, k1 et tout ;-)

[spike0789]

Bonjour à tous,

@Sylviel :

Donc (A+B) est nilpotente et tu as même (A+B)^n=0.

Non pas forcément. On a bien dans tous les cas et si on note m et p les indices de nilpotence des matrices A et B, alors comme l'a dit arnaud32 on est sûr d'avoir au moins pour tout ,

[Sylviel]

Si si je confirme, si A est de taille nxn et que A^2n = 0 alors A^n=0 aussi.

Je précise que ça n'a pas d'utilité autre que de se débarasser des n,p, k1,k2 etc... On prends n et puis c'est tout ;).

[spike0789]

Ah mais oui ! Bien sur ! (A+B) est de taille nxn et nilpotente donc (A+B)^n=0 !
Merci pour la rectification ! :++: