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par **bentaarito** » 06 Déc 2010, 23:39

Pourquoi, dans la recherche des vecteurs des sous-espaces caractéristiques , on est sur que l'équation

admet toujours une solution (où les X_i sont les vecteurs formant une base de l'espace propre associé à a)???????,

par **Ben314** » 06 Déc 2010, 23:40

bentaarito a écrit:Pourquoi, dans la recherche des vecteurs des sous-espaces caractéristiques , on est sur que l'équation
admet toujours une solution (où les X_i sont les vecteurs formant une base de l'espace propre associé à a)???????,

C'est qui les inconnues dans ton "équation" : le vecteur X ou les xi ?

Edit :
Si c'est X (avec les xi fixés) c'est faux (prendre par exemple A=a.Id)
Si X est fixé et que les inconnues sont les xi, c'est faux aussi : il n'y a aucune raison que (A-a.In)X soit dans le s.e.v. propre associé à 'a'
Si c'est le X et les xi, l'équation a comme solution triviale X=0 et tout les xi nuls....

Donc je comprend que dalle à ce que tu as bien pu vouloir dire...

par **bentaarito** » 06 Déc 2010, 23:48

Ben314 a écrit:C'est qui les inconnues dans ton "équation" : le vecteur X ou les xi ?

Edit :
Si c'est X (avec les xi fixés) c'est faux (prendre par exemple A=a.Id)
Si X est fixé et que les inconnues sont les xi, c'est faux aussi : il n'y a aucune raison que (A-a.In)X soit dans le s.e.v. propre associé à 'a'
Si c'est le X et les xi, l'équation a comme solution triviale X=0 et tout les xi nuls....

Donc je comprend que dalle à ce que tu as bien pu vouloir dire...

les X_i sont fixés et que les inconnues sont les xi et ça marche à tous les coups!!!

par **Ben314** » 06 Déc 2010, 23:52

bentaarito a écrit:les X_i sont fixés et que les inconnues sont les xi et ça marche à tout les coups!!!

Je prend

,

et

.
Trouve moi

...

par **bentaarito** » 06 Déc 2010, 23:56

Ben314 a écrit:Je prend , , et .
Trouve moi ...

Non non non, les X_i sont bien définis (dépendent de a)et on cherche X.

par **Ben314** » 06 Déc 2010, 23:57

Je prend

,

et

.
Trouve moi

...

par **Ben314** » 07 Déc 2010, 00:00

bentaarito a écrit:les X_i sont fixés et que les inconnues sont les xi et ça marche à tous les coups!!!

bentaarito a écrit:Non non non, les X_i sont bien définis (dépendent de a)et on cherche X.

Résumé rapide : je comprend toujours pas QUI EST CONNU et QUI ON CHERCHE
De plus, dans mon premir post, il me semble t'avoir clairement répondu concernant tout ce qui me paraissait plausible comme connu/inconnu potentiels :

Ben314 a écrit:Si c'est X (avec les xi fixés) c'est faux (prendre par exemple A=a.Id)
Si X est fixé et que les inconnues sont les xi, c'est faux aussi : il n'y a aucune raison que (A-a.In)X soit dans le s.e.v. propre associé à 'a'
Si c'est le X et les xi, l'équation a comme solution triviale X=0 et tout les xi nuls....

Donc... je comprend toujours que dalle...

par **bentaarito** » 07 Déc 2010, 00:07

les X_i sont les vecteurs formant une base de l'espace propre associé à a
le X c'est ce qu'on cherche et les x_i à choisir comme on veut (s'arranger d'une manière que ça marche)
Je vais vous donner exemple

par **Ben314** » 07 Déc 2010, 00:10

Bon, dans ce cas, je reprend mon exemple :

,

(qui forme bien une base de

)
Résoud moi ton équation et dit moi qui tu prend pour

. et qui tu prend pour

...

par **bentaarito** » 07 Déc 2010, 00:13

Exemple:

2 est la seule valeur propre ( d'ordre 3)
l'espace propre est engendré par

et

On cherche X tq

convient!!

par **bentaarito** » 07 Déc 2010, 00:16

Ben314 a écrit:Bon, dans ce cas, je reprend mon exemple :
, , (qui forme bien une base de )
Résoud moi ton équation et dit moi qui tu prend pour . et qui tu prend pour ...

non, (oui j'aurais du vous préciser que a doit être une valeur propre tq l'espace propre associé soit de dim inférieure à la multiplicité de a)

par **Ben314** » 07 Déc 2010, 09:50

Si on pose

pour

alors évidement

, mais on a "mieux" :
Si

est un supplémentaire de

dans

(

) alors la restriction de

à

est évidement injective,

et

(si

on pose

) ce qui prouve que

.
On en déduit en particulier que, s'il existe un

tel que

alors

.
Ca explique pourquoi, si la dimension de l'espace propre

associé à

est strictement plus petite que la multiplicité

de

dans le polynôme caractéristique (qui est en fait la dimension à laquelle se stabilise les

) alors

donc ton système a des solutions non triviales.

par **Doraki** » 07 Déc 2010, 12:35

bentaarito a écrit:On cherche X tq
convient!!

Et si on cherche X tq (A-2Id)X = X1 + 2X2 ?

par **bentaarito** » 07 Déc 2010, 13:35

non, c'est à fixer après les

pas à l'avance :!:

par **Doraki** » 07 Déc 2010, 13:45

Ah la question c'était "pourquoi existe-t-il un vecteur X non nul et des réels x1...xn tels que blablabla" ?

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