Matrices symétriques définies positives

[ludo56]

bonjour!

sauriez-vous où je peux trouver la preuve de l'homéomorphisme entre et x R^(n(n+1)/2) ?
( sachant que j'ai fait la preuve entre :
et x )

[kazeriahm]

Salut

quelle est la dimension de S_n(R) ?

[Nightmare]

bonjour!

sauriez-vous où je peux trouver la preuve de l'homéomorphisme entre et x R^(n(n+1)/2) ?
( sachant que j'ai fait la preuve entre :
et x )

Salut,

A priori il te suffit de dire que Sn++(R) est homéomorphe à R^(n(n+1))/2 ou encore que Sn++(R) est de dimension n(n+1)/2. Pourquoi est-ce vrai?

[Nightmare]

Salut Kazeriahm :happy3:

[kazeriahm]

Salut Nightmare,

S_n++ n'est malheuresement pas un ev :zen:

[Nightmare]

tu as raison. En fait il faut plutôt montrer que Sn++(R) est homéomorphe à Sn(R) qui lui est de dimension n(n+1)/2 !

[ludo56]

justement l'exponentielle réalise un homéomorphisme de sur .

mais pourquoi est de dimension n(n+1)/2?

[Nightmare]

Eh bien regarde comment on construit une matrice symétrique !

[ludo56]

je ne vois pas trop comment montrer cela précisément...

[Nightmare]

Ta matrice est symétrique donc la donnée d'un élément au dessus de sa diagonale te donne l'élément symétrique par rapport à la diagonale. Pour la construire, j'ai donc besoin de 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n éléments (le premier élément de la première colonne, puis les deux premiers de la seconde colonne, puis les 3 premiers de la 3ème etc... ) soit n(n+1)/2 éléments.

Plus rigoureusement, la famille des matrices avec en est une base.

[ludo56]

intuitivement je comprends,

mais cela veut dire que la matrice E(1,2) est "liée" avec E(2,1)???

[ludo56]

ah non c'est pas ca , d'accord j'ai compris merci beaucoup !!