Matrices symétriques positives

[Skullkid]

Bonjour à tous, j'essaye de me replonger avec enthousiasme dans les espaces euclidiens, mais je bute sur l'exo que voici :

Soit avec et symétriques réelles positives. Montrer que . On pourra commencer par le cas où est définie positive.

La première question de l'exercice consistait à montrer cette inégalité pour A symétrique positive. Donc en reprenant ce résultat on obtient . Donc j'aimerais bien montrer que mais j'arrive à rien.

Merci d'avance.

[ThSQ]

Déjà si y'en a une qui n'est pas > 0 c'est évident.

Ensuite écris A_1 = tP D P et A_2 = tP B P avec D diagonale et applique l'inégalité entre les moyennes.

[Skullkid]

Si j'appelle les valeurs propres de j'obtiens :

.

A-t-on ? Ou est-ce que je fais encore fausse route ?