Matrices et sev

[les TPEistes]

Bonjour tout le monde. J'ai quelques petites questions à vous poser, les voici :

Soit F l'ensemble des matrices N de M_2(R) telles que AN = NA avec A =
( 2 1 )
( 1 2 )

a/ Montrer que F est un sev de M_2(R) et en donner une base.
b/ Montrer que C = Vect (I,A) avec I =
( 1 0 )
( 0 1 )

Pour la question a/ j'ai pris deux matrices de F (M et N), deux réels (a et b), et j'ai montré que (aM + bN)A = A(aM + bN). J'en ai donc conclu que C était un sev de M_2(R) (stabilité par combinaisons linéaires)

Ensuite je bloque pour la base... Si quelqu'un peut me donner un p'tit coup de pouce ce n'est pas de refus :we:
Merci !

[Maxmau]

Bj
Prends N avec des coeff indéterminés et regarde à quelles conditions AN=NA

[les TPEistes]

Salut ! et merci, alors :


AN = NA
<=>
( 1 2 ) ( a b ) = ( a b ) ( 1 2 )
( 2 1 ) ( c d ) = ( c d ) ( 2 1 )
<=>
( (a+2c) (b+2d) ) = ( (a+2b) (2a+b) )
( (2a+c) (2b+d) ) = ( (c+2d) (2c+d) )
<=> c=b et a=d
Donc N est de la forme :
( a b )
( b a )
Donc une base est :
( 1 0 )
( 0 1 )
et
( 0 1 )
( 1 0 )

c'est ça ??

[Maxmau]

OUI C'est ça

[les TPEistes]

Ok, parfait !

Merci beaucoup Maxmau :)