Matrices semblables

[jeje56]

Soit la matrice A :
-3 1 -1
-7 5 -1
-6 6 -2

On montre que A n'est pas diagonalisable ; -2 est VP double et 4 VP simple
Comment trouver T verifiant :
"A est semblable à T=
-2 1 0
0 -2 0
0 0 4"

Merci d'avance...

[jeje56]

Oui je vois si on avait T il suffirait de trouver P
Mais on ne donne pas T au départ... Ds la correction : "A est semblable à T = ..." dc je me demande comment on trouve T...
Merci Rain'

[sandrine_guillerme]

BOnjour ..

est ce que ta quetion est comment trigonaliser ? si oui je peux t'ecrire une méthode
sinon pourquoi donc a tu mis le titre semblable ?

[jeje56]

Oui c'est ça, comment trigonaliser A... J'avoue que diagonaliser je sais faire mais trigonaliser je n'arrive pas à faire le lien... Merci

Pour le titre, si on trouve T triangulaire supérieure et P inversible telles que A = PTP-1 on dit bien que A et T sont semblables non?...

[jeje56]

Oui d'accord, mais justement comment en trouver une autre par exemple?... Je suis d'accord pr la diagonale.

[sandrine_guillerme]

très bien,

on va prendre l'exemple (qui me semble très complet, par ce qu'il traite tous les cas de la trigonalisation, je supposerais acquis comment chercher les valeurs propres et espaces propres vu que tu sais comment diagonaliser .
Allons y :we:

soit la matrice suivante

(2 -1 2 1)
(1 0 3 1)
(-2 1 0 1)
(-1 0 0 3)

trigonaliser A .
alors là, l'exercice ne propose pas si on veut une matrice trigo sup ou inf .. on va faire les deux ..

1ère étape :
polynome caractéristique
P_f(X)= (X-1)^3(X-2)

1 VP d'ordre 3
2 VP d'ordre 1
les espaces propres
E1=vect{2,3,0,1)=vect(u1)
E2=vect{1,1,0,1)}=vect(u2)

jusqu'il ici c'est très bien .
conseil pour méditer : les profs aiment bien que tu vérifie les calculs, donc ici tu pourrais t'amuser à vérifier que (u1,u2) est libre pour en déduire que c'est une base de E2

alors revenons à nos vecteur u1 et u2
u1=2e1+3e2+e4
u2=e1+e2+e4
on complète (u1,u2) avec e3 et e4
et on montre que B2=(u1,u2,e3,e4) est libre . attention l'ordre des vecteurs est important !
si on montre qu'elle est libre c'est donc une bse .

on pose dons cette base et on écrit la matrice dans cette base B2 sachant que
f(u1)= u1 (car 1 est VP)
f(u2)=2u2
calculons donc f(e3) et f(e4) dans cette base
par définition on a
f(e3)=2e1 +3e2 (voir la matrice que j'ai donné la haut )
f(e4)= e1+e2+e3+3e4
on a posé
u1 = 2e1 +3e2 +e4
u2=e1+e2+e4

en remplaçant par u2 dans la première égalité et tout calcul fait on a
e2 = u1 -2u2 +e4
e1=-u1 +3u2 -2e4
d'où
f(e3) = 2(-u1+3u2-2e4)+3(u1-2u2+e4) = u1 - e4 .
f(e4) = -u1 +3u2-2e4+u1-2u2+e4+e3+3e4 = u2+e3+2e4

on obtient donc la matrice suivante .


(1 0 1 0)
(0 2 0 1)
(0 0 0 1)
(0 0 -1 2)
comme tu le vois notre matrice n'est pas encore triongulaire ! oui ce n'est pas encore gagné ..

tu me suit ?
si tu comprends ça après c'est de la rigolade !
donc dis moi si tu veux que je te réexplique quelque chose .

[jeje56]

Dac, j'ai parcouru rapidement la méthode, ça me parait abordable... Merci beaucoup en tout cas. Je te ferai signe si je rencontre des difficultés.

[sandrine_guillerme]

le voila Rain' (présent partout lol ) avec une méthode légèrement différente ..

[sandrine_guillerme]

Dac, j'ai parcouru rapidement la méthode, ça me parait abordable... Merci beaucoup en tout cas. Je te ferai signe si je rencontre des difficultés.

oki bien .. donc je t'écris la fin comme ça dès que tu finis a lire (et comprendre !)
très bien .

alors on va regarder le bloc d'en bas à droite par ce qu'il n'ya que -1 qui pose problème
on pose une nouvelle matrice

(0 1)
(-1 2)
faut eliminer ce -1 donc on va diagonaliser cette petite matrice .. tu as dis que la diagonalisation ne te pose aucun problème
je te laisse donc faire voici les résultats (à vérifier !)

pareil on calcul le polynome caractéristique qui ne doit pose aucun problème !
P(X) = (X-1)^2
1 VP d'ordre 2
l'espace propre E2= Vect{(1,1)}
on va incruster ce vecteur dans la matrice c'est une idée mais il y a 3coordonnée et nous ont en dim 4 donc on complète par des 0 en haut
et on pose ce nouveau vecteur e'3= (0,0,1,1) et e'4=e4
posons la base (à vérifier que c'est une base de préférence avec le det)
B3 = (u1,u2,e'3,e4)
et on écrit les nouvelles coordonnées
on avait dit
f(u1)=u1
f(u2)=2u2
e'3=e3+e4
e'4=e4

f(e'3)=f(e3)+f(e4) par linéarité .
= u1+u2+e'3
f(e'4) = f(e4)=u2+e'3+e4


d'ou la matrice

(1 0 1 0)
(0 2 1 1)
(0 0 1 1)
(0 0 0 1)

et là on a une très joli matrice triangulaire supérieur .
on peut s'amuser à trouver la mtrice de passage de B à B4 (à faire !!)
résultat
(2 1 0 0)
(3 1 0 0)
(0 0 1 0)
(1 1 1 1)
qu'il faut inverser afin de vérifier T=P^-1AP

et enfin pour avoir une base dans laquelle la matrice est triangulaire inférieur tu prend Q une matrice de passage et considère la base (e'4,e'3,u2,u1) il faut changer l'ordre des vacteurs qui est très important .

Voilà voilà,
je te conseille de travailler et retravailler cet exemple car il est très complet .

et je te souhaite bon courage .

[Joker62]

Y'a aussi la méthode : Lemme des Noyaux :)

[sandrine_guillerme]

Y'a aussi la méthode : Lemme des Noyaux

Salut Joker, je serais ravi que tu nous propose la méthode stp aussi ! (je suis pas encore arrivé avec mes révisions à cette partie )

[sandrine_guillerme]

C'est pas un peu plus calculatoire comme méthode ?

En fait tu prends des vecteurs propres linéairement indépendants. Tu complètes le tout avec d'autres vecteurs pour en faire une base. Après calculs, tu regardes ce que ça donne. Puis tu modifies les derniers vecteurs pour obtenir une matrice triangulaire,

normalement dans la plupart des cas ça s'arrête la !

en diagonalisant une matrice plus petite, avec encore quelques calculs pour avoir la matrice de passage, si j'ai bien suivi (j'ai survolé).

effectivement dans les matrice 4*4 je pense que c'est conseillé de suivre cette méthode ça fait moins de calcul .

autant prendre des vecteurs propres puis construire les derniers vecteurs directement ça fait moins de calcul et ça donne la matrice de passage tout de suite non ?

dans le cas d'une matrice 3*3 c'est la méthode la plus efficace .. essais pour mon exemple la méthode que tu as proposé !

[Joker62]

Je rapelle déjà le Lemme des Noyaux :

Soit
1) Si , alors est stable par
2) Si sont premiers entre eux, alors

On va appliquer :

Soit
Donc on a

De plus :
Donc d'après le Lemme des Noyaux :


D'après Cayley-Hamilton, d'où


on a clairement d'où et donc :

On pose
On cherche maintenant tel que


D'où

Maintenant on fait pareil pour la valeur propre simple qui est 4 :



Donc la matrice de passage est :

Soit une base de

On a : on peut placer le 0 en haut à droite car le lemme des noyaux nous dit que est stable par .

Reste à trouver a :



De plus

On en conclu que

Et que

Voilà lol, désolé pour la lenteur, j'ai eu du mal, j'ai ressorti le semestre 3 ! :p

[sandrine_guillerme]

effectivement Joker, ... c'est de la jordanisation ça :) plus fort que de la trigo ..

Je te remercie d'avoir mis en place cette méthode, moi ça me fais un bon exercice de révision...

Merci encore /

[Joker62]

Beuh de rien ça m'a fait révisé aussi merci :p