Matrice trigonalisable

[naruto-next]

salut,

je viens de reviser pour diagonaliser une matrice ... me reste plus qu'a savoir si on peut trigonaliser une matrice et comment le faire . or j'ai pas pu assister a 2 cors de math la ou le prof expliquer comment trigonaliser une matrice . je me confie donc a vous pour m'aidé :id: .

une fois les vecteur propre et valeur obtenu , et sachant que le polynome caracteristique est scindé , comment trouver une matrice semblable et trigonalisé ?

par exemple A =

0 1 0
-4 4 0
-2 1 2

valeur propre : 2 multiplicité 3
base vecteur propre : (1 , 2 ,0) , (0 , 0 ,1)

[adrien69]

salut,

je viens de reviser pour diagonaliser une matrice ... me reste plus qu'a savoir si on peut trigonaliser une matrice et comment le faire . or j'ai pas pu assister a 2 cors de math la ou le prof expliquer comment trigonaliser une matrice . je me confie donc a vous pour m'aidé :id: .

une fois les vecteur propre et valeur obtenu , et sachant que le polynome caracteristique est scindé , comment trouver une matrice semblable et trigonalisé ?

par exemple A =

0 1 0
-4 4 0
-2 1 2

valeur propre : 2 multiplicité 3
base vecteur propre : (1 , 2 ,0) , (0 , 0 ,1)

Petit truc que mon prof de MP disait : "une diagonalisation est une trigonalisation qui a réussi".
L'idée est donc de commencer par diagonaliser.

Tu prends ta famille de vecteurs propres et tu la complètes en base (attention, vraiment une base).
Ensuite tu regarde le coin inférieur droit de ta matrice ainsi transformée et tu recommences.
Pour faire des sous-vecteurs des sous-matrices que tu as trouvés une base qui tu convient tu les complètes par au-dessus.

Par exemple si tu essaies avec une matrice 4x4, et que tu as deux vecteur propres a et b, tu les prends et tu complètes en base (a,b,c,d). Tu regardes ce que vaut ta matrice dans (a,b,c,d) (tu n'as besoin que de t'intéresser aux aux composantes selon d et c des images de d et c). Puis tu t'intéresses à la matrice 2x2 dans le coin inférieur droit. Et tu cherches les vecteurs propres associés aux valeurs propres que tu n'as pas encore épuisées (si tes valeurs propres étaient 2,2,3 et 3 eh bien tu cherches des vecteurs propres associés à 2 et 3). Si les vecteurs que tu trouves pour la 2x2 sont (x,y) et (v,w) tu prendras donc la base de trigonalisation (a,b,(0,0,x,y),(0,0,v,w))

Voilà !

[Nightmare]

L'idée est donc de commencer par diagonaliser.

Je ne suis pas trop d'accord avec ça. En fait, c'est un peu comme démontrer la continuité en montrant la dérivabilité, ça peut marcher mais ça ne nous dit pas comment montrer qu'une fonction est continue.

[Anonyme]

Petit truc que mon prof de MP disait : "une diagonalisation est une trigonalisation qui a réussi".
L'idée est donc de commencer par diagonaliser.

Tu prends ta famille de vecteurs propres et tu la complètes en base (attention, vraiment une base).
Ensuite tu regarde le coin inférieur droit de ta matrice ainsi transformée et tu recommences.
Pour faire des sous-vecteurs des sous-matrices que tu as trouvés une base qui tu convient tu les complètes par au-dessus.

Par exemple si tu essaies avec une matrice 4x4, et que tu as deux vecteur propres a et b, tu les prends et tu complètes en base (a,b,c,d). Tu regardes ce que vaut ta matrice dans (a,b,c,d) (tu n'as besoin que de t'intéresser aux aux composantes selon d et c des images de d et c). Puis tu t'intéresses à la matrice 2x2 dans le coin inférieur droit. Et tu cherches les vecteurs propres associés aux valeurs propres que tu n'as pas encore épuisées (si tes valeurs propres étaient 2,2,3 et 3 eh bien tu cherches des vecteurs propres associés à 2 et 3). Si les vecteurs que tu trouves pour la 2x2 sont (x,y) et (v,w) tu prendras donc la base de trigonalisation (a,b,(0,0,x,y),(0,0,v,w))

Voilà !

Bonjour,

Pouvez vous être plus explicite a ce sujet,
Je cherche a trigonaliser cette matrice en particulier car je ne trouve pas le dernier vecteur propre.
je voudrais bien chercher mais je suis a court d'idée je sais pas si
ker(X-2Id)= a
ou ker(X-2id)= b
(a et b étant les vecteurs propres trouvées précédemment)
Le problème c'est qu'en faisant soit l'un ou l'autre on trouve un système d'equation:
-2x+y=0
-2x+y=1

Merci d'avance pour votre aide.

[Ben314]

Salut,

J'ai pas trop regardé les valeurs numériques, mais la méthode (à mon sens) pour diagonaliser/trigonaliser une matrice M est la suivante :
1) Calcul du polynôme caractéristique et des valeurs propres.
2) Recherche des s.e.v. ker(M-a.Id) associés à chaque valeur propres a.
2.a) S'il sont de dimension l'ordre de multiplicité de la v.p. a dans le polynôme caractéristique, c'est bon : ça sera diagonalisable (sur ce s.e.v. là)
2.b) Si ce n'est pas le cas, on évalue ker((M-a.Id)^2) [qui contient strictement ker(M-a.I)] et on regarde s'il a pour dimension l'ordre de multiplicité de la v.p. a dans le polynôme caractéristique. Si oui, on s'arrête là, sinon on évalue ker((M-a.Id)^3) etc...
3) Une fois qu'on a trouvé le plus petit m tel que ker((M-a.Id)^m) ait pour dim. l'ordre de multiplicité de la v.p. a dans le polynôme caractéristique, on cherche une base d'un supplémentaire de ker((M-a.Id)^(m-1)) dans ker((M-a.Id)^m) et on regarde son image par (M-aId) qui est une famille libre de ker((M-a.Id)^(m-1)) qu'on complète en une base d'un supplémentaire de ker((M-a.Id)^(m-2)) dans ker((M-a.Id)^(m-2))...

Dans le cas concret de ton exo, tu évalue Ker(M-2I) et Ker((M-2Id)^2) puis tu prend un vecteur W dans Ker((M-2Id)^2) privé de Ker(M-2I) puis tu prend comme deuxième vecteur (M-2I).W