Matrice !!

[Anonyme]

Bonsoir tout le monde !
J'ai moi aussi mon petit problème avec un exercice !
Le voici :


Soient des nombres réels.
Considerons la matrice

M=

Le but de cet exercice est de calculer le déterminant de M.
Soit

Soit E = la matrice définie par
On pose P(X)=


a) Montrer que pour tout {0,1,...,n-1} et tout on a



b)Calculer ME de façon élégante en utilisant le polynome P (pas besoin de justifications...)

c)Montrer que le calcul de det(ME) se ramène par des opérations simples au calcul de det E.

d)En déduire que det M sous forme d'un produit des valeurs de P.

[Anonyme]

Merci d'avance pour votre aide !

[yos]

a) factorise le premier membre par epsilon^(n-k)i. Utilise le fait que
epsilon^n= 1 pour faire apparaitre P(epsilon^i).

b) Déf du produit de 2 matrices : le calcul de la question a) donne le terme de la matrice ME ligne n-k+1 modulo n, colonne i+1 modulo n.

c)factorise le déterminant de ME par le produit des P(epsilon^i) ( dans la colonne i+1 , tu as P(epsilon^i) en facteur de chaque terme.

d)det(ME)=det(M)det(E) et det(E) est un Vandermonde. On en déduit la valeur de det(M).

J'espère que mes indices sont corrects. Bon courage

[ras]

je n'ai pas lu entierement ton exo
mais normalement cela se fait avec la matrice circulante, J
des 0 partout sauf sur la sur-diagonale
alors ta matrice vaut sigma( ai*J^i)

je voulais demander qqch
est ce que qqn peut m'indiquer ou se trouve le site lesmaths.net
MERCI