Matrice

[liljuan]

J'aurais besions d'aide sur deux questions:
-Relation entre les dimensions des matrices, le rang de matrice et le nombres de solution de Ax=b?
-on suppose que Ax=b possède 2 solutions x1 et x2. Donner 3 solutions de Ax=0?
Merci à vous tous.

[BQss]

J'aurais besions d'aide sur deux questions:
-Relation entre les dimensions des matrices, le rang de matrice et le nombres de solution de Ax=b?
-on suppose que Ax=b possède 2 solutions x1 et x2. Donner 3 solutions de Ax=0?
Merci à vous tous.

Salut,

Pour une matrice M(n,p)


- rang=n , c'est surjectif, au moins une sol, si de plus:
p>n, une infinité de sol, si p=n une unique sol(bijection)

-r<n, pas forcement des sols, si de plus:
r=p une sol ou 0, si r<p 0 ou une infinité.

-r=p, injectif, 0 ou une sol, si de plus:
r=n(ici necessairement n<=p car injectif) bijectif une et une seule.

-si r<p 0 sol ou une infinité.


dans tout les cas r<max(n,p) evidemment.

[BQss]

-on suppose que Ax=b possède 2 solutions x1 et x2. Donner 3 solutions de Ax=0?
Merci à vous tous.

deux sols different par un element du noyau:
i.e si x0 est un element du noyau et x une solution(Ax=b):
A(x+x0)=Ax+Ax0=Ax=b
donc x+x0 est sol. Et reciproquement Ax1 et Ax2 = b alors A(x1-x2)=0.

Ici x1 et x2 sont sol: donc x1=x2+x0 avec x0 appartient a Ker(A):
0 est solution triviale,
x1-x2=x0 aussi verifie Ax=0

Le noyau est un E.V donc 2(x1-x2) aussi par exemple, ca fait 3.



Remarque:
Dans ton exo le noyau n'est pas {0} car ton systeme Ax=b a plus d'une sol(donc pas bijectif), et donc une infinité(systeme lineaire), tu as donc une infinité de sol pour Ax=0 l'ensemble Ker(A) qui est un E.V.
On aurait pu faire aussi sans specialement connaitre les propriétés des solutions:
1)Ax1-Ax2=A(x1-x2)=b-b=0
2)A*0=0
3)A(2(x1-x2))=2A((x1-x2))=2(Ax1-Ax2)=2(b-b)=0

[fahr451]

bonsoir

juste une remarque

on évite de parler d e la dimension d'une matrice

la dimension concerne les ev

on parle de taille ou de format d'une matrice = nombre de lignes et de colonnes

[BQss]

Je rajoute au passage pour mettre un nom sur les propriétés ennoncées que l'espace des sols d'une equation lineaire Ax=b est un sous espace affine de direction ker(A). Si l'espace affine est de dimension 1 par exemple une fois qu'on a une solution les solutions sont de la forme avec u un vecteur de ker(A) et un réel (si on travaille sur des equations réelles par exemple) .
Ou encore si on a deux sols avec donc