Matrice

[Naalaa]

Bonsoir; je suis bloqué dans un exercice de matrice.
A =
J =
1.a) déterminez deux nombre \alpha et \beta
tels que :
A = alpha J+beta I
1.b) Exprimez J2 en fonction de J
1.c) Déduisez en que A2=-5J+16I
2.a)Prouvez grace a la question précédente A2+5A=-4I
2.b) Deduisez en que A est inversible et calculer A-1
Je suis complètement bloquée.
Merci de votre aide.


Modif par Lostounet: Il manquait quelques balises [tex]

[Naalaa]

Ah merci ! Peux tu m'aider stp je ne comprends pas comment trouver alpha et beta ?

[Lostounet]

Bonjour,

Vraiment bloquée... même pour la question 1?
Il faut juste écrire la matrice A comme une somme d'une matrice diagonale et d'un multiple de la matrice J... pas besoin d'un doctorat pour ça.

Que trouves-tu pour commencer?

[Naalaa]

Je trouve :
alphabeta alpha. alpha
Alpha. Alphabeta alpha
Alpha. Alpha. Alphabeta

[Lostounet]

Je trouve :
alphabeta alpha. alpha
Alpha. Alphabeta alpha
Alpha. Alpha. Alphabeta

Bien ! Mais c'est plutôt "alpha + beta" sur la diagonale. Cela donne donc, si l'on veut:



Et donc, à ton avis, comment choisir alpha et bêta pour que tous ces coefficients soient égaux à ceux de A?
Par exemple l'élément de A sur la 1ere ligne et la troisième colonne, c'est 1. Et ici c'est alpha...
Donc alpha = ...

[Naalaa]

Ah donc alpha = 1 et alpha+beta = -3 d'où beta = -4 ?

[Lostounet]

Parfait !

Continuons ! Tu vois ce n'était pas difficile.
Peux-tu calculer J^2 ? Essaye.

[zygomatique]

salut

exercice de spé math .... et pas de math spé ... qui n'a rien à faire dans ce forum ....

voir :: http://www.ilemaths.net/sujet-matrice-i ... 88433.html

...

[Lostounet]

Bonsoir Zygomatique,

Ce qui est regrettable, c'est moins la section dans laquelle le topic a été initié (les matrices sont vues entre la Tle et la L1 selon la filière, la section..), que la démarche intellectuelle en soi...

J'espère toutefois que Naalaa fera preuve d'un travail sérieux afin de bien comprendre le calcul matriciel.

[Naalaa]

Sur l'autre forum; les gens m'aider pas mais me critiquer. .. donc J^2 = × J ?

[Lostounet]

Salut Naalaa,

As-tu calculé J^2 ? Quelle est donc la matrice J^2 ?
Il faut calculer J fois J (produit de la matrice J par elle-même).

[Naalaa]

Je trouve 3 3 3
3 3 3
3 3 3

[Lostounet]

C'est ça!
Et si on veut exprimer ce résultat en fonction de la matrice J multipliée par une constante, ce serait quoi cette constante? En gros je veux écrire J^2 = nombre*J quel est ce nombre? (on veut exprimer J^2 en fonction de J)

[Naalaa]

J^2 = 3 x J ?

[Lostounet]

Oui !
Question 1)c) on te demande quelque chose concernant la matrice A^2 (en fonction de J et I). Tout ce qu'on sait sur la matrice A, c'est qu'elle est de la forme: A = (1).J - (4).I (c'est toi qui l'avait trouvé).

On va donc essayer de calculer A^2 = [(1).J - (4).I]^2...
C'est donc [J - 4I ]*[J - 4I] ...
Développe (attention, on ne peut pas toujours appliquer l'identité remarquable (A - B)^2 =A^2 - 2AB + B^2 si A et B sont des matrices, car AB n'est pas toujours égal à BA si c'est deux matrices.. donc il vaut mieux développer à la main.

Dans ce cas, c'est vrai car les deux matrices J et 4I commutent !

[Naalaa]

Donc A^2 = J^2 -J4I -4IJ +16I
= 3J - J4 -4J +16I
= -J -J4 +16 I
= -5J +16I ?

[Lostounet]

Très bien, quand on veut on peut.
En fait tu as juste oublié le -4J:

C'est A^2 = J^2 - 4J - 4J + 16I
= 3J - 8J + 16I
= -5J + 16I


Passe à la question suivante !

[Naalaa]

Je ne vois pas.le lien entre la question précédente et celle la ..

[Naalaa]

Ahh nn c'est bon
A^2 = -5J +16 I
A^2+ 5 A +20 I = 16 I
D'où A^2 +5A = 4I ?

[Lostounet]

Hm... la deuxième ligne est étrange.

Est-ce c'est 5A ou 5J ? Est-ce que c'est un +20 ou un -20...

Je te conseille d'écrire 5A = ...
Et ensuite de calculer A^2 + 5A pour que le calcul fasse plus "clair".