Matrice

[marawita1]

Bonjour,

Est ce que toute matrice à coefficients réels est trigonalisable? et vérifie -t-elle la décomposition de Schur?

Merci.

[JaCQZz]

Une matrice A est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X].
Théorème de Schur — Toute matrice carrée complexe est trigonalisable dans une base orthonormale.

Si A le vérifie, A carrée ∈ Mn(K), {n>0} et s'écrit: A=PTP^{-1}. La P de passage est à coefficients dans K...

[marawita1]

Merci pour votre réponse.

Si j'ai bien compris, toute matrice réelle est trigonalisable et aussi vérifie la décomposition de Schur mais les matrices P et T peuvent être à coefficients complexes.

C'est ça?

[Ben314]

Si j'ai bien compris, toute matrice réelle est trigonalisable dans C et aussi vérifie la décomposition de Schur mais les matrices P et T peuvent être à coefficients complexes.
C'est ça ?

Oui, mais à première lecture de ton message, j'étais parti à répondre "non".
Et ça vient du fait que, dans un tel contexte, il me semble qu'il faut absolument que tu rajoute le "dans C" pour éviter les erreurs d'interprétation (si on lit la fin de la phrase, c'est clair ce que tu veut dire, mais deux précautions valent mieux qu'une...)

Et on peut éventuellement dire que ce n'est pas la meilleure façon de voir les choses et qu'il vaudrait mieux dire que :
1) Toute matrice à coeff. complexe est trigonalisable dans C (là, si on oublie le "dans C", c'est moins grave : il est plus ou moins sous entendu par le début de la phrase)
2) Les matrices à coeff. réels sont évidement des cas particuliers de matrices à coeff. complexe (R est contenu dans C)
Mais c'est discutable...