Matrice

[marawita1]

Bonjour,
on considere la matrice suivante d'ordre n:


A est la matrice obtenue en discrétisant par différences finies le laplacien 1D ( sur [0, 1] ) avec conditions de Dirichlet aux bords et h=1/ (n+1).

1) Le déterminant de A?
2) Les vecteurs propres et les valeurs propres associées de A?

Merci d'avance.

[jlb]

Salut,

Le déterminant de A? 1/(n+1)^(2n-1)

( tu montres que la matrice h(n)²A a pour déterminant n+1: pour cela tu développes ce déterminant selon la première colonne et ensuite selon la première ligne; tu trouves alors une relation de récurrence entre les déterminants de- h(n)A(n), h(n-1)A(n-1) et h(n-2)A(n-2) et tu "vois" que |h(n)A(n)| =n+1, ce qui te donne le résultat proposé)

A confirmer car je n'ai pas vérifié

[marawita1]

Salut,

Le déterminant de A? 1/(n+1)^(2n-1)

( tu montres que la matrice h(n)²A a pour déterminant n+1: pour cela tu développes ce déterminant selon la première colonne et ensuite selon la première ligne; tu trouves alors une relation de récurrence entre les déterminants de- h(n)A(n), h(n-1)A(n-1) et h(n-2)A(n-2) et tu "vois" que |h(n)A(n)| =n+1, ce qui te donne le résultat proposé)

A confirmer car je n'ai pas vérifié

Merci bien, en suivant vos arguments je pense le déterminant de A c'est plutôt (n+1)^(2n+1).

Pour la deuxième question, avez vous une idée?

[jlb]

Merci bien, en suivant vos arguments je pense le déterminant de A c'est plutôt (n+1)^(2n+1).

Pour la deuxième question, avez vous une idée?

Oui, j'ai pris pour h =n+1, désolé!! j'y réfléchis , cela me rappelle un truc.

[jlb]

c'est revenu!! bon, le truc c'est d'exhiber n valeurs propres distinctes: tu écris qu'un vecteurs propre (x1,...,xn) associé à sa valeur propre k a ses coordonnees vérifiant la relation de récuurrence
-x(i-1)+(2-k)x(i) - x(i+1) = 0 avec conditions initiales x0=x(n+1)=0. Il reste alors à trouver la forme générale des suites solutions. Mais là, je n'ai plus le temps. Bon courage, si tu n'as pas trouvé je te donnerai plus d'infos demain soir ou un autre forumeur plus doué pourra t'aider.

[marawita1]

c'est revenu!! bon, le truc c'est d'exhiber n valeurs propres distinctes: tu écris qu'un vecteurs propre (x1,...,xn) associé à sa valeur propre k a ses coordonnees vérifiant la relation de récuurrence
-x(i-1)+(2-k)x(i) - x(i+1) = 0 avec conditions initiales x0=x(n+1)=0. Il reste alors à trouver la forme générale des suites solutions. Mais là, je n'ai plus le temps. Bon courage, si tu n'as pas trouvé je te donnerai plus d'infos demain soir ou un autre forumeur plus doué pourra t'aider.

Merci encore. Je pense que la relation de récurrence est:
pour i=2,...,n et avec x_0= x_{n+1}=0.
Apres je détermine les solutions de l'équation caractéristique qui est de la forme
Le discriminant est
La je suis bloqué, je pense qu'il aura une discussion!!!!!!!!!!!!!
Je vais essayer encore :mur: .
Ok merci bien , j'attends votre réponse.

[Doraki]

Si on regarde E = l'ensemble des suites indexées par Z et T :E -> E défini par (T((un))n = 2un-u(n-1)-u(n+1), les vecteurs propres de tes matrices correspondent à des éléments de E qui sont des "vecteurs propres" pour T qui sont périodiquement nuls.

Or, 2sin(a) - (sin(a-b) + sin(a+b)) = sin(a) * 2(1-cos(b))

Donc en prenant (un) = sin(nqpi) avec q rationnel, on obtient de telles suites, de valeur propre 2(1-cos(qpi)).

Et donc pour la matrice de taille n, les valeurs propres sont les 2(1-cos(kpi/(n+1)))/h² pour k=1...n
et les vecteurs propres associés sont les (sin(kpi/(n+1)),sin(2kpi/(n+1)),...,sin(nkpi/(n+1)))

[jlb]

Merci encore. Je pense que la relation de récurrence est:
pour i=2,...,n et avec x_0= x_{n+1}=0.
Apres je détermine les solutions de l'équation caractéristique qui est de la forme
Le discriminant est
La je suis bloqué, je pense qu'il aura une discussion!!!!!!!!!!!!!
Je vais essayer encore :mur: .
Ok merci bien , j'attends votre réponse.

oui, pour la relation!! le truc a "voir" c'est que le produit des racines est 1 et la leur somme r+r^(-1)= (2-kh²)

ensuite, tu as xi = ar^i + b(1/r)^i et avec les conditions x0=x_{n+1}=0 ( là, il y a un truc à expliquer), cela donne a+b =0 et r^(n+1)-r^(-n-1) = 0, ce qui te permet de trouvers r associé à la vp k définie par la somme des racines. ( et bien sur, tu as au moins n valeurs r possibles!!)

Pour le calcul des vecteurs propres ,tu utilises la formule de xi (avec a=1 pour simplifier)

Et au final, tu retrouves les résultats de Doraki. ouf!!

[marawita1]

oui, pour la relation!! le truc a "voir" c'est que le produit des racines est 1 et la leur somme r+r^(-1)= (2-kh²)

ok.

ensuite, tu as xi = ar^i + b(1/r)^i et avec les conditions x0=x_{n+1}=0 ( là, il y a un truc à expliquer), cela donne a+b =0 et r^(n+1)-r^(-n-1) = 0, ce qui te permet de trouvers r associé à la vp k définie par la somme des racines. ( et bien sur, tu as au moins n valeurs r possibles!!)

Là j'ai pas bien compris, comment on détermine r? et j'ai pas bien saisi votre dernier phrase

Pour le calcul des vecteurs propres ,tu utilises la formule de xi (avec a=1 pour simplifier)

Si j'ai bien compris il y a une infinité des vecteurs propres, non?
Merci bien.

[jlb]

tu trouves r à partir des conditions initiales x_{n+1}=x0=0, cela te donne r^(n+1)-r^-(n+1)=0 soit r^(2n+2)=1. tu choisis une des racines(2n+2)ième de l'unité, elle est associée à la valeur propre k donnée par r+r^-1=2-h²k. Toutes les expressions se simplifient grâce aux formules de Moivre.

[marawita1]

tu trouves r à partir des conditions initiales x_{n+1}=x0=0, cela te donne r^(n+1)-r^-(n+1)=0 soit r^(2n+2)=1. tu choisis une des racines(2n+2)ième de l'unité, elle est associée à la valeur propre k donnée par r+r^-1=2-h²k. Toutes les expressions se simplifient grâce aux formules de Moivre.

Merci bien, c'est presque finie, juste quelques passages que j'ai pas bien compris.
on a (2n+3) choix de r, et à chaque choix, on trouve une valeur propre k, c'est ça?
après on a: x_m = , m=0,..., n+1, c'est ok?
De la relation r+r^-1=2-h²k, on trouve pour chaque r un k qui vaut
k_m=
c'est ok?
Je sais pas si ça est compatible avec les résultats de Doraki!!!!!!!!!!
Merci de me bien expliquer ce truc.

[jlb]

Salut,
"Merci bien, c'est presque finie, juste quelques passages que j'ai pas bien compris.

on a (2n+1) choix de r, et à chaque choix, on trouve une valeur propre k, c'est ça? [oui]

après on a : x_m = , m=0,..., n+1, c'est ok?^[ oui, mais c'est pour r=e^(ipih), rajoute un paramètre pour la forme générale du vecteur propre suivant la racine r choisie et tu retrouves la solution de Doraki]

De la relation r+r^-1=2-h²k, on trouve pour chaque r un k qui vaut

k_m=
c'est ok? [NON, tu as du faire une petite erreur de calcul et le m est mal choisi, c'est le paramètre associée à la racine choisie, ce serait plutôt k_l=(1/h²)(2-2cos(pi.l.h)) pour
r=e^(ipi.l.h) et l=1 à n ]

Je sais pas si ça est compatible avec les résultats de Doraki!!!!!!!!!! [bah, si!!! à un coefficient près pour les vecteurs propres. pour rappel:
"Et donc pour la matrice de taille n, les valeurs propres sont les 2(1-cos(kpi/(n+1)))/h² pour k=1...n
et les vecteurs propres associés sont les (sin(kpi/(n+1)),sin(2kpi/(n+1)),...,sin(nkpi/(n+1)))"Doraki]