Matrice

[zork]

Bonsoir

J'ai un problème dans une démo:
Soient A, B des matrices symétriques définies positives à coefficients réels
Par théorème de réduction simultanée, il existe une matrice P inversible et avec les lambda positifs telle que:
et

Pourquoi peut-on faire une réduction simultanée car A et B ne commutent pas?
Et pourquoi A n'a pas une matrice diagonale entre les matrices P?

merci

[Ben314]

Je pense que tu sait que toute forme bilinéaire symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée.

La (mini) astuce, ici, c'est qu'au lieu de prendre sur R^n la structure usuelle d'espace euclidien, tu considère la forme quadratique q associée (par exemple) a la matrice A : tu applique alors le résultat çi dessus qui te dit que tu peut trouver une base C orthonormée pour la forme quadratique q dans laquelle B est diagonale.
Tu prend pour P la matrice de passage de la base canonique de R^n à la base C et c'est fini.

Et "A n'a pas une matrice diagonale entre les matrices P" parce que... y'en a pas besoin...

(et ça marche tout pareil en supposant uniquement A définie positive et pas forcément B)

[zork]

il y a encore une chose que je ne comprend pas
Pourquoi peut on faire une diagonalisation simultanée? on n'a jamais supposé que A commute avec B

[Ben314]

Dans ce théorème là :

Je pense que tu sait que toute forme bilinéaire symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée.

tu as besoin que qui que ce soit commute avec qui que ce soit ?

donc...

[zork]

encore une question:
je n'ai pas bien compris pourquoi au début tu parles de A et après tu passes à la matrice B?
Pourquoi ? il faudrait que lorsqu'on fait la réduction de Gauss pour la forme quadratique, il n'y ait que des 1 comme coefficient?

[zork]

c'est bon j'ai pigé, tu prend une base C qui fait correspondre la matrice identité à A