Matrice

[marcopolo20]

Bonsoir,

A=(1 2 et 2 1) et P=(-1 1 et 1 1)

C(A)={M appartient à M2(R) | AM=MA}

1) montrer que C(A) est un sous-espace vectoriel de M2(R)
2)soit M E M2(R). on note N=P-1MP. Monter que :
AM=MA équivaut à DN=ND
3)Soit N E M2(R). Montrer que :
DN=ND si, et seulement si il existe des réels a et d tels que N=(a 0et 0 d)
4) en déduire que M E C(A) si, et seulement si, il existe des réels a et d tels que :
M=1/2(a+d d-a et d-a a+d)

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Il faut d'abord s'assurer que
Ensuite, :
Et à la fin : : .
Bref, on applique la définition qu'on a dans le cours.

Cordialement. :happy3:

[marcopolo20]

Bonsoir, :happy3:

Il faut d'abord s'assurer que
Ensuite, :
Et à la fin : : .
Bref, on applique la définition qu'on a dans le cours.

Cordialement. :happy3:

désolé mais je ne vois pas car je n'ai jamais fait avec des matrices

[Ben314]

désolé mais je ne vois pas car je n'ai jamais fait avec des matrices

Ben justement, le but de l'algèbre linéaire (chapitre "espaces vectoriels") c'est de comprendre qu'on peut faire le même style de raisonnement avec des tas d'ensembles (différents) pourvu que ce soit des espaces vectoriels.

Ici , les deux seuls questions c'est
1) Est ce que tu sait ajouter deux matrices ?
2) Est-ce que tu sait multiplier une matrice par un réel ?
Si la réponse est "oui", ben tu sait faire l'exo vu que ça veut dire que tu sait connait la structure d'espace vectoriel des matrices.

Remarque : des espaces vectoriels, il y en a... des tonnes. Si tu refuse de faire un exo sous prétexte que celui là en particulier (d'espace vectoriel), tu n'a jamais fait d'exercices le concernant, ben il y a de forte chance que, le jour de l'exam, tu refuse de faire l'exercice et que aille voir ensuite le prof pour lui dire "l'exam. on n'avais jamais fait d'exo. comme ça". Il te répondra que... "c'est le but..."

[Robic]

Pour résoudre ce genre d'exercice, il faut adapter la définition d'un sous-espace vectoriel à l'énoncé.

--> C'est la seule difficulté. (Mais j'ai constaté que ça bloque souvent les étudiants, donc c'est bien une difficulté.)

C'est quoi un sous-espace vectoriel ? F est un sous-espace vectoriel de E si F contient le neutre de E et si F est stable par combinaisons linéaires. (C'est la définition que j'ai en tête, elle est peut-être fausse d'ailleurs, mais peu importe. Je veux juste montrer comment adapter une définition à l'énoncé.)

Ici, E, c'est l'espace vectoriel des matrices 2x2.
Et F, c'est C(A), l'ensemble des matrices M telles que AM=MA.

Je fais le coup de l'élément neutre (pour le coup des combinaisons linéaires, c'est la même méthode).

Il faut vérifier que F contient le neutre de E. Je veux dire : que C(A) contient le neutre des matrices 2x2.

Tout le monde sait que le neutre des matrices 2x2, c'est la matrice nulle.

Il faut donc vérifier que - j'adapte la définition à l'énoncé, c'est en fait une traduction - l'ensemble des matrices M telles que MA=AM contient la matrice nulle.

Je continue à traduire : il faut donc vérifier que la matrice nulle est une matrice M telle que MA=AM.

Continuons : il faut donc vérifier que 0.A = A.0, ce qui est d'une facilité confondante.

Et voilà !

C'est pareil pour la deuxième partie de la démonstration. On adapte la définition d'une combinaison linéaire à l'énoncé, ce qui revient à traduire, traduire, traduire...

[marcopolo20]

Pour résoudre ce genre d'exercice, il faut adapter la définition d'un sous-espace vectoriel à l'énoncé.

--> C'est la seule difficulté. (Mais j'ai constaté que ça bloque souvent les étudiants, donc c'est bien une difficulté.)

C'est quoi un sous-espace vectoriel ? F est un sous-espace vectoriel de E si F contient le neutre de E et si F est stable par combinaisons linéaires. (C'est la définition que j'ai en tête, elle est peut-être fausse d'ailleurs, mais peu importe. Je veux juste montrer comment adapter une définition à l'énoncé.)

Ici, E, c'est l'espace vectoriel des matrices 2x2.
Et F, c'est C(A), l'ensemble des matrices M telles que AM=MA.

Je fais le coup de l'élément neutre (pour le coup des combinaisons linéaires, c'est la même méthode).

Il faut vérifier que F contient le neutre de E. Je veux dire : que C(A) contient le neutre des matrices 2x2.

Tout le monde sait que le neutre des matrices 2x2, c'est la matrice nulle.

Il faut donc vérifier que - j'adapte la définition à l'énoncé, c'est en fait une traduction - l'ensemble des matrices M telles que MA=AM contient la matrice nulle.

Je continue à traduire : il faut donc vérifier que la matrice nulle est une matrice M telle que MA=AM.

Continuons : il faut donc vérifier que 0.A = A.0, ce qui est d'une facilité confondante.

Et voilà !

C'est pareil pour la deuxième partie de la démonstration. On adapte la définition d'une combinaison linéaire à l'énoncé, ce qui revient à traduire, traduire, traduire...

Bonjour,

Je veux montrer que A(M+N)=(M+N)A mais cela ne fonctionne pas.

Pourriez-vous m'aidez s'il vous plaît ?

[Ben314]

Atention à bien se rappeller que tu ne cherche pas à vérifier cette relation pour n'importe quelles matrice M et N (A quand à elle est effectivment quelconque et fixée par l'énoncé).
Tu cherche à montrer que cette égalitée est vrai lorsque M et N sont dans C(A).
Or, ça veut dire quoi que "M et N sont dans C(A)" ?


Un petit rappel aussi : le produit matriciel est distributif sur l'addition matricielle : A(B+C)=AB+AC et (A+B)C=AC+BC.

[Robic]

Je veux montrer que A(M+N)=(M+N)A mais cela ne fonctionne pas.

Ah bon ?

La démonstration commence ainsi (commentaires entre crochets et en italique) :

Soient M et N deux matrices de C(A), autrement dit deux matrices telles que AM=MA et AN=NA. [Jusque là il n'y a même pas à réfléchir. On est obligé d'écrire ça, même si on n'a pas le moindre début de commencement d'idée de comment on va faire ensuite.] On a :
A(M+N) = AM + AN,
(M+N)A = MA + NA.

[Il reste à en déduire que A(M+N) = (M+N)A...]

Je vois difficilement comment on peut ne pas réussir à terminer la démonstration ! :zen:

[marcopolo20]

Or, ça veut dire quoi que "M et N sont dans C(A)" ?

cela veut dire que ce sont des sous-espaces vectoriels de C(A) ?

A(M+N) = AM + AN,
(M+N)A = MA + NA.

Pour faire ces calculs, j'ai utiliser des lettre M=(v x et y z) et N=(a b et c d) et je ne trouve pas que
A(M+N)=(M+N)A

[Ben314]

ça (énoncé) C(A)={M appartient à M2(R) | AM=MA}
ça se lit "C(A) est l'ensemble des matrice 2x2 à coefficients réels telles que le produit MA soit égal au produit AM"

Donc
"M et N sont dans C(A)",
ben ça vaut dire que
"M et N sont deux matrice 2x2 à coefficients réels telles que le produit MA soit égal au produit AM et le produit NA soit égal au produit AN"

[marcopolo20]

je trouve que A(M+N)=AM+AN=(1 2 ; 2 1)(v x ; y z) + (1 2 ; 2 1)(a b ; c d) = (v+2y x+2z ; 2v+y 2x+z) + (a+2c b+2d ; 2a+c 2b+d)

(M+N)A= MA+NA=(v x ; y z)(1 2 ; 2 1) + (a b ; c d)(1 2 ; 2 1)=(v+2x 2v+x ; y+2z 2y+z) + (a+2b 2a+b ; c+2d 2c+d)

Ca n'est bien pas égal ? :mur:

[marcopolo20]

je trouve que A(M+N)=AM+AN=(1 2 ; 2 1)(v x ; y z) + (1 2 ; 2 1)(a b ; c d) = (v+2y x+2z ; 2v+y 2x+z) + (a+2c b+2d ; 2a+c 2b+d)

(M+N)A= MA+NA=(v x ; y z)(1 2 ; 2 1) + (a b ; c d)(1 2 ; 2 1)=(v+2x 2v+x ; y+2z 2y+z) + (a+2b 2a+b ; c+2d 2c+d)

Ca n'est bien pas égal ? :mur:

je ne vois pas du tout où peut être mon erreur.

Merci de votre aide

[Robic]

Que c'est compliqué !!!!!! (Ton erreur vient du fait que tes matrices M et N ne sont pas dans C(A) puisque ce sont des matrices quelconques.)

Pourquoi n'as-tu pas suivi ma suggestion ? Quand je dis que c'est facile, je ne mens pas.

Je reprends ce que je disais plus haut en ajoutant juste la fin :

Soient M et N deux matrices de C(A), autrement dit deux matrices telles que AM = MA et AN = NA. On a :
A(M+N) = AM + AN = MA + NA = (M+N)A.

[marcopolo20]

Que c'est compliqué !!!!!! (Ton erreur vient du fait que tes matrices M et N ne sont pas dans C(A) puisque ce sont des matrices quelconques.)

Pourquoi n'as-tu pas suivi ma suggestion ? Quand je dis que c'est facile, je ne mens pas.

Je reprends ce que je disais plus haut en ajoutant juste la fin :

Soient M et N deux matrices de C(A), autrement dit deux matrices telles que AM = MA et AN = NA. On a :
A(M+N) = AM + AN = MA + NA = (M+N)A.

d'accord merci, pour la stabilité par addition je trouve : lambda(AM)=(lambdaA)M=A(lambdaM)

mais je ne suis pas sur du tout que cela soit suffisant et la suite de l'exercice me pose encore plus de difficultés.

[Robic]

1) Il faut que tu gardes en tête la définition : AM = MA. (On dirait que tu ne penses jamais à t'en servir...)

2) Pour la stabilité par rapport à la multiplication par un scalaire (l'addition, je l'ai fait), il faut démontrer quoi ?
- Il faut démontrer que si M appartient à C(A) alors kM appartient à C(A). (Je recopie la définition de la stabilité par multiplication.)
- Donc que si AM = MA, alors A(kM) = (kM)A. (Je recopie la définition de C(A)).

Jusque là, il n'y a pas à réfléchir, juste à recopier des définitions.

Le truc à démontrer, c'est donc A(kM) = (kM)A. Et on suppose que AM = MA. C'est très simple, non ?

Rappel : pour deux matrices B et C quelconques et k scalaire, on a toujours B(kC) = k(BC).

la suite de l'exercice me pose encore plus de difficultés.

Le problème, je trouve, c'est que tu buttes sur cette première question qui est très simple. Je ne dis ça pour te décourager, mais pour te suggérer de revoir les exercices de base de ce chapitre (j'espère que tu as des exercices corrigés). Ça prend un peu de temps, mais j'ai peur que tu en perdes encore plus en t'acharnant à faire cet exercice sans avoir les bases.

[marcopolo20]

1) Il faut que tu gardes en tête la définition : AM = MA. (On dirait que tu ne penses jamais à t'en servir...)

2) Pour la stabilité par rapport à la multiplication par un scalaire (l'addition, je l'ai fait), il faut démontrer quoi ?
- Il faut démontrer que si M appartient à C(A) alors kM appartient à C(A). (Je recopie la définition de la stabilité par multiplication.)
- Donc que si AM = MA, alors A(kM) = (kM)A. (Je recopie la définition de C(A)).

Jusque là, il n'y a pas à réfléchir, juste à recopier des définitions.

Le truc à démontrer, c'est donc A(kM) = (kM)A. Et on suppose que AM = MA. C'est très simple, non ?

Rappel : pour deux matrices B et C quelconques et k scalaire, on a toujours B(kC) = k(BC).


Le problème, je trouve, c'est que tu buttes sur cette première question qui est très simple. Je ne dis ça pour te décourager, mais pour te suggérer de revoir les exercices de base de ce chapitre (j'espère que tu as des exercices corrigés). Ça prend un peu de temps, mais j'ai peur que tu en perdes encore plus en t'acharnant à faire cet exercice sans avoir les bases.

D'accord merci