Matrice L1

[FunkyAnts]

Bonjour tout le monde, j'aimerais que vous m'aidez à résoudre un problème sur les matrices, ou au moins valider les étapes intermédiaires.

Alors voici le problème :

Soit A=, et f l'endomorphisme de R² qui a pour matrice A dans la base canonique B =(e1,e2). Trouver une base B=(e1,e2) de R² dans laquelle f admette pour matrice

Donnez alors la matrice de passage P de la base canonique B à B.


Je trouve pour B e1=(1,2) et e2=(-1,4)
et B e1=(2,0) e2=0,3)

Ce qui me donne pour matrice de passage

Est-ce que c'est cela ?

[zork]

tu peux le vérifier en regardant si D=P^(-1)AP

[FunkyAnts]

tu peux le vérifier en regardant si D=P^(-1)AP

C'est pas ça alors ? Cela me donne une matrice énorme !

[zork]

déjà tu dis: B_o, e1=(1,2) et e2=(-1,4) or Bo est la base canonique c'est-à-dire:
e1=(1,0),e2=(0,1)

[FunkyAnts]

Tu peux pas m'en dire un peu plus zork, j'essaye dans tous les sens mais je n'arrive pas à trouver cette base ! :mur:

[mrif]

As-tu étudié la diagonalisation des matrices?

Si oui tu remarqueras que la 2 ème matrice est diagonale donc la 1ère matrice est diagonalisable de valeurs propres 2 et 3 (valeurs de la diagonale de la 2 ème matrice). Donc la base recherchée sera formée de vecteurs propres. Autrement dit si on appelle (e3,e4) la nouvelle base on aura Ae3 = 2e3 et Ae4 = 3e4.

Tu trouveras e3 = (2;1) et e4 = (1;1).
et la matrice de passage relative à cette base est la matrice dont les colonnes sont formées des vecteurs e3 et e4:
2 1
1 1

Attention il y a une infinité de bases (e3,e4) qui répondent à la question: tout vecteur non nul colinéaire à e3 et tout vecteur non nul colinéaire à e4 conviennent.

Comme l'a signalé Zork, la base (e1,e2) est la base canonique.

Si tu ne comprends pas ou si tu n'as pas encore étudié la diagonalisation n'hésite pas à le signaler.

Edit:
Désolé, je n'avais pas remarqué que tu étais en L1.
Oublie tout ce que j'ai dit sur la diagonalisation.
Soit la nouvelle base et soient les coordonnées de et les coordonnées de

, on résoud le système et on obtient
le vecteur est un vecteur qui convient.
On fait pareil pour : et on obtient un vecteur

[FunkyAnts]

Merci mrif, c'est vraiment sympa de ta part de me débloquer. :happy: