Matrice

[dubus]

Bonjour

Pouvez vous m'expliquer pour la matrice suivante n'est pas diagonalisable svp?

1 2 2
-1 1 -1
1 0 2


je vous remercie

[ampholyte]

Bonjour,

Recherche dans ton cours les propriétés d'une matrice diagonalisable.

Tu peux utiliser un raisonnement par l'absurde ou montrer qu'il n'y a pas de polynôme scindé à racine simple tel que P(M) = 0

[nansyann]

Il faut calculer le polynôme caractéristique associé à ta matrice,tu vas trouver
-(x-2)(x-1)²
Puis il faut déterminer les sous espaces de tes valeurs propres 1 et 2.
Tu vas trouver que le sous espace propre associé à la valeur propre 1 n'est que de dimension 1. Pour qu'elle soit diagonalisable, on devrait trouver une dimension 2.
Ea(1)=vect((-1,-1,1))
Ea(2)=vect((0,-1,1)).

[dubus]

Il faut calculer le polynôme caractéristique associé à ta matrice,tu vas trouver
-(x-2)(x-1)²
Puis il faut déterminer les sous espaces de tes valeurs propres 1 et 2.
Tu vas trouver que le sous espace propre associé à la valeur propre 1 n'est que de dimension 1. Pour qu'elle soit diagonalisable, on devrait trouver une dimension 2.
Ea(1)=vect((-1,-1,1))
Ea(2)=vect((0,-1,1)).

dimension 1 parce que Ea(1) a une racine double -1 c'est ça ?

Cdt

[nansyann]

dimension 1 car Ea(1) est composé d'un seul vecteur propre associé à la valeur propre 1 de multiplicité 2.
Pour que la matrice soit diagonalisable, Ea(1) aurait du être composé de deux vecteurs.

[dubus]

dimension 1 car Ea(1) est composé d'un seul vecteur propre associé à la valeur propre 1 de multiplicité 2.
Pour que la matrice soit diagonalisable, Ea(1) aurait du être composé de deux vecteurs.

ok merci à toi

[dubus]

ok merci à toi

Bonjour je reviens sur les explications de nansyann
concernant le vecteur Ea(1) on a effectivement : -1,-1,1 mais on a aussi 0,0,0 donc 2 vecteurs sur Ea(1) non? si quelqu'un peut m'expliquer svp

merci

[nansyann]

Ea(1) c'est l'espace vectoriel engendré par le vecteur -1;-1;1. Le vecteur nul appartient à cet espace.
On le note vect((-1;-1;1))

[dubus]

Ea(1) c'est l'espace vectoriel engendré par le vecteur -1;-1;1. Le vecteur nul appartient à cet espace.
On le note vect((-1;-1;1))

Bonjour nansyann

je te remercie pour tes reponses
il y a une chose qui est pas tres clair pour moi dans Ea(1) on a 2 vecteurs si on compte le vecteur nul non? dans ce cas on aurait 3 vecteurs avec Ea(2), j'avoue que là je ne comprend plus à moins qu'on ne compte pas le vecteur nul mais je ne voit pas pourquoi, si vous pouvez me donner la reponse svp

merci à tous et aussi à nansyann

[nansyann]

Dans Ea(1) tu as une infinité de vecteurs qui s'écrivent tous sous la forme
k * (-1;-1;1), avec k dans R
Ea(1) est un ensemble.
Idem pour Ea(2).

Ce qui fait que ta matrice n'est pas diagonalisable c'est que Ea(1) n'est composé que d'un vecteur propre.