Matrice

[stella54]

Bonjour,
j'aimerez savoir comment montrer que toutes matrice carrée sur un corps est semblable à sa transposée??
Merci d'avance pour vos reponses

[Nightmare]

Salut,

tu peux utiliser par exemple la décomposition de Jordan de ta matrice.

[cuati]

Salut,

tu peux utiliser par exemple la décomposition de Jordan de ta matrice.

Hmmm... rien ne dit que le corps en question est algébriquement clos...

[Nightmare]

Ce n'est pas très grave, on peut raisonner dans une clôture algébrique.

[wserdx]

Je vois plusieurs méthodes.
Une théorique "marteau-pilon" : une matrice et sa transposée ont les mêmes facteurs invariants, elles sont donc semblables. (Les facteurs invariants s'expriment en fonctions de mineurs : leurs calculs aboutissent donc au même résultat.)
Une autre plus constructive : on commence par montrer que c'est vrai pour une matrice compagnon, puis pour une matrice diagonale par bloc dont chaque bloc est une matrice compagnon, et enfin pour toute matrice, puisqu'elle admet une forme normale diagonale par bloc.
ça marche aussi pour la forme normale de Jordan (à la place de la matrice compagnon, la matrice de passage a juste une expression légèrement différente)