Matrice symétrique/antisymétrique

[w79exz]

Bonjour,
Je bloque sur 2 questions de mon problème :
- Montrer que Sym=Ker(A)=Im(S) et que Asym=Ker(S)=Im(A)
(Sym et Asym des matrices carrées quelconques symétrique et antisymétrique dans R)

- Que valent SoS, AoA, SoA et AoS ?

On a S(M)=1/2(M+tM) et A(M)=1/2(M-tM)

Je sais que Ker est l’espace des solutions de l’équation f(x )=0 et Im est l’espace des vecteurs de la
forme y=f(x). Mais je n'arrive pas à trouver le lien avec les matrices symétrique/antisymétrique.

Merci d'avance

[GaBuZoMeu]

Peux-tu écrire la définition de matrice symétrique ? De matrice antisymétrique ?
Normalement si tu as sous le nez :
- ces définitions,
- les définitions de S et M
- la définition de noyau,
les égalités avec les noyaux devraient te sauter aux yeux.

Pour les images; je t'engage à calculer S(M) pour M symétrique et A(M) pour M antisymétrique. La moitié du boulot sera faite.

[w79exz]

Une matrice symétrique c'est une matrice carrée égale à sa transposée, donc A(M) pour une matrice symetrique =0, vu que ker est un sous-espace vectoriel AX=0 donc Sym=ker(A).
Pour l'image de S on utilise la définition de symétrique pour dire que S(M) vaut M. Est-ce que c'est bon?

[GaBuZoMeu]

Juqu'ici ça va. Continue.
IL reste la détermination du noyau de S, le calcul de A(M) pour M antisymétrique.
Et puis compléter l'identification des images de A et S..

[w79exz]

S(M) nous donne une matrice symétrique pour M symétrique et A(M) nous donne une matrice antisymétrique pour M antisymétrique.
S(M) pour M antisymétrique vaut 0 donc ker(S) = 0, AX=0 est vérifié.
Par contre l'identification des images? Car S(M)symetrique a pour image M

[GaBuZoMeu]

Attention à ta façon de rédiger. Il ne suffit pas de dire que A(M)=0 si M est symétrique pour justifier que ker(A) est le sous-espace des matrices symétriques. Vois-tu pourquoi ?

De même, pour dire que l'image est égale à truc-machin, il vaut mieux procéder par double inclusion.