Matrice et permutations

par **MacManus** » 22 Juin 2008, 23:04

bonsoir

On considère la permutation de

suivante :

et A la matrice de permutation associée :
A =

Je dois déterminer une matrice inversible P telle que

soit une matrice diagonale par blocs de taille 2 et 3. (remarques : on ne me demande pas de calculer le polynôme caractéristique de A. J'ai au préalable calculer l'inverse de A à l'aide de la permutation...).

Seulement je ne vois pas comment déterminer P....
J'aimerais avoir quelques indications, merci !

par **Clembou** » 22 Juin 2008, 23:23

MacManus a écrit:bonsoir

On considère la permutation de suivante : et A la matrice de permutation associée :
A =

Je dois déterminer une matrice inversible P telle que soit une matrice diagonale par blocs de taille 2 et 3. (remarques : on ne me demande pas de calculer le polynôme caractéristique de A. J'ai au préalable calculer l'inverse de A à l'aide de la permutation...).

Seulement je ne vois pas comment déterminer P....
J'aimerais avoir quelques indications, merci !

Il faut passer par le polynôme caractéristique et trouver les valeurs et vecteurs propres de la matrice

.

par **MacManus** » 23 Juin 2008, 00:07

Le problème c'est qu'on ne me demande pas de calculer le polynôme caractéristique de A à ce stade. Dans mon exercice, son calcul intervient plus tard dans une autre question. Il est vrai que son calcul permet de trouver valeurs propres et vecteurs propres, mais ici apparemment on attend autre chose... et à vrai dire je suis un peu bloqué... je te remercie pour ta réponse en tout cas... en attendant peut-être d'autres suggestions. Merci.

par **busard_des_roseaux** » 23 Juin 2008, 03:18

hey,

tu as manifestement un morphism

par **MacManus** » 23 Juin 2008, 08:20

Dis-donc busard_des_roseaux tu es fort sympatique ! comment être aussi lucide à une telle heure ? :happy3:

Tu m'a remis en mémoire plusieurs choses c'est très apréciable!

Oui l'homomorphisme

que tu décris semble être intéressant pour U le groupe multiplicatif des n racines complexes de l'unité. Mais si en effet dans notre cas il s'agit des racines carrées de l'unité, comment généraliser pour l'ensemble de ce groupe U ?

Le lien qui existe entre la permutation

et la matrice A, comme tu l'as dit, est

, si l'on interprète A comme étant la matrice de l'automorphisme f de R

. Cependant cette matrice A associée au groupe des permutations de

est définie par le terme d'indice

(symbole de Kronecker)...Je veux dire que la notation matricielle impose elle-même le fait que l'on obtienne une matrice composée de 1 et/ou de -1. C'est peut-être idiot mais je m'en réfère purement et simplement à la définition d'une matrice de permutations... comment obtenir d'autres éléments (racines) du groupe U ??

PS : et au fait, qu'en est-il de ma matrice P inversible ??? :id:

Bon... l'exercice devient bien plus intéressant ! toute explication est la bienvenue

par **busard_des_roseaux** » 23 Juin 2008, 08:32

MacManus a écrit:PS : et au fait, qu'en est-il de ma matrice P inversible ??? :id:

Que reste-t-il a faire ?

par **MacManus** » 23 Juin 2008, 08:54

Supposons un cycle c de longueur n. Si A =

, alors

(où I est la matrice identité). Donc

, cad que

est un polynôme annulateur de A. Celà revient effectivement à chercher les n racines de l'unité.

Une matrice diagonale par blocs va correspondre alors à un produits...de cycles à supports disjoints dans S5 ? et il est plus commode ensuite pour calculer les puissances de A qui seront les puissances de

....

mais je ne vois pas comment remonter sans connaître D et P...

par **busard_des_roseaux** » 23 Juin 2008, 09:10

bonjour à tous,

par **MacManus** » 23 Juin 2008, 14:31

merci busard_des_roseaux.

Ma matrice de passage est alors définie par P =

P est une matrice orthogonale, on a donc :

ou

est la transposée de P.

=

ca me semble correct puisque D est diagonale par blocs de taile 2 et 3.

Matrice et permutations

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