Matrice de passage !

[barbu23]

Bonjour :
Comment calcule-t-on la matrice de passage d'une matrice diagonalisable : dans la relation :
ça fait longtemps que j'ai pas revu ce cours sur la diagonalisabilité et trigonalisabilité d'une matrice !
Merci d'avance de votre aide !!

[Joker62]

P c'est la matrice avec les vecteurs propres en colonne non ?

[Lemniscate]

C'est sans doute dans ton cours mais c'est assez rapide à expliquer.
Tu sais qu'il y a un isomorphisme entre l'ensemble des matrices M(m,n)(R) et l'ensemble des morphismes L(R^n,R^m) ce qui signifie que ta matrice A représente un et un seul morphisme u pour une base de R^n et une base de R^m donnée. Prenons le cas n=m pour simplifier.
Si B=(e1,e2,...,en) base de R^n et B'=(e1',e2',...,en') base de R^n, si A matrice de u dans B et D matrice de u dans B'. On note P la matrice de passage de B à B' (ie celle dont les colonnes sont les coordonnées des ei' de B' dans la base B) on a alors A=P*D*P^(-1) (ie D=P^(-1)*A*P).

Donc pour calculer P il te suffit d'exprimer les ei' de B' en fonction des ej de B.

Par exemple si ta matrice est A=((1 1),(1 1)) (matrice 2*2 avec des 1 partout) A*(1,1)=2*(1,1) et A*(1,-1)=0 donc 2 et 0 sont les valeurs propres de A et e1'=e1+e2,e2'=e1-e2 forment une base dans laquelle u est diagonalisable (D=diag(2,0)). Tu as ainsi P=((1 1),(1 -1)) et pour P^(-1) il te suffit d'exprimer les ei en fonction des ej', ce qui en l'occurence est facile.

Bonne nuit.

[Antho07]

Oui, La matrice P est constitué des vecteurs propres (en colonne)