Matrice de passage

[Api1000]

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide sur un exercice qui est le suivant :

Dans R^3 on considère les vecteurs :
v1 = (1,1,1) v2 = (0,1,3) v3 = (1,2,3)
On admettra que {v1,v2,v3} est une base de R^3 que l'on note B.

1) Quelles sont les coordonnées de (2,3,4) dans la base B? (J'ai trouvé (4,12,28) correct?)
2) Soit T: R^3 -> R^3 l'application linéaire définie par :
T(v1) = v1
T(v2) = -v2
T(v3) = 0
Ecrire la matrice A de T dans la base B

J'ai trouvé : (1 0 0)
(1 -1 0)
(1 -3 0) Correct?

Et voilà mon plus gros souci :
3) Donner P la matrice de passage de la base canonique vers la Base B et son inverse P^-1. En déduire B la matrice de T dans la base canonique.

Je ne comprend pas comment trouver la matrice P de passage.. La base canonique c'est bien la base composé des vecteurs (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) ? Si quelqu'un peut m'eclaircir sur ce sujet..
Merci d'avance !

[Robot]

J'ai trouvé (4,12,28) correct?

As-tu vérifié que est bien égal au vecteur donné ? Mon petit doigt me dit que non.

J'ai trouvé : (1 0 0)
(1 -1 0)
(1 -3 0) Correct?

Tu devrais revoir la définition de matrice d'un endomorphisme dans une base.

Et voilà mon plus gros souci :
3) Donner P la matrice de passage de la base canonique vers la Base B et son inverse P^-1. En déduire B la matrice de T dans la base canonique.

Peux tu rappeler la définition de la matrice de passage de la base à la base ?

[Api1000]

As-tu vérifié que est bien égal au vecteur donné ? Mon petit doigt me dit que non.

Je pensais que l'on calculais ces coordonnées en faisant ici :
(2*1 + 2*0 + 2*1) ( 4 )
(3*1 + 3*1 + 3*2) = (12) C'est a dire en multipliant le x1 du vecteur par tout les x1 des vecteurs de la base..
(4*1 + 4*3 + 4*3) (28)

Il faut donc décomposer ce vecteur ??

Tu devrais revoir la définition de matrice d'un endomorphisme dans une base.

Je ne comprends pas.. Ici on dit que T(v1) = v1 donc dans la matrice finale la première colonne est égale à v1 non?

Peux tu rappeler la définition de la matrice de passage de la base à la base ?

J'ai lu que pour satisfaire cette condition il faut que AP = PB avec P la matrice que l'on doit trouver, A la matrice de la base B et B la matrice de la base canonique. Toutes ces bases je pense qu'il suffit d'un déclic pour éclaircir tout ça mais pour l'instant c'est le brouillard..
Merci de ta réponse.

[Api1000]

Du coup pour la question 1 je trouve

1) Les coordonnées de sont
Puisque w = 1*v1 + 0*v2 + 1*v3

2) Pour la question 2 par contre je ne comprend pas pourquoi la matrice n'est pas égale à :

3) Je ne comprends toujours pas..

[zygomatique]

T(v1)= v1 =1v1 +0v2+0v3

T(v2) = -v2 = 0v1 + (-1)v2 + 0v3

...

si C = (i, j, k) est la base canonique alors la matrice de passage P de C à B vérifie :

P(i) = v1
P(j) = v2
P(k) = v3

...

[Robot]

As-tu regardé ton cours ?

[Api1000]

Aaaah, merci.. Je trouve donc la matrice :
C'est ça ?
Pour la matrice de passage je ne comprends toujours pas par contre.
Si la base canonique n'est pas donnée cela correspond bien aux vecteurs :
e1
e2
et e3
?
Il faut donc que j'écrive la matrice de passage avec : la base canonique en colonne en fonction de la base B sur les lignes ? Désolé mais après 4 jours de révisions intense tout se mélange un peu.

[Robot]

Pourquoi ne veux tu pas écrire la définition de la matrice de passage de la base canonique vers la base ? Vérifie dans ton cours, ça ne sera pas inutile.