Matrice et norme

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GagaMaths
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Matrice et norme

par GagaMaths » 29 Oct 2011, 15:31

Bonjour à tous !

Dans le cadre d'un exercice sur les fonctions convexes, la question 3 me pose problème...
Voici la question :

Soient (xi, yi), i = 1,2,3 trois points non alignés de R².
Montrer que la matrice suivante est inversible :
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1

En déduire qu'il existe une constante K telle que, pour tout v dans R^3, on ait :
|| v || <= K.|| Av || où A est la matrice d'avant
où ||.|| est la norme de R^n associée au produit scalaire euclidien.

J'ai fait la 1ère partie de la question, j'ai montré que A est inversible, mais je ne vois pas le rapport avec l'inégalité...

MERCI !!



Maxmau
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par Maxmau » 29 Oct 2011, 17:51

Bj
qq remarques qui peuvent être utiles:
Si A inversible Av non nul dès que v non nul
En particulier la norme de Au reste strictement positive sur la sphère unité (norme de u =1)

GagaMaths
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par GagaMaths » 29 Oct 2011, 21:08

Merci pour ta réponse, mais je ne vois pas comment continuer avec ça...
A part dire que || Av || est strictement positif, je ne vois pas comment COMMENCER....

Maxmau
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par Maxmau » 30 Oct 2011, 10:55

GagaMaths a écrit:Merci pour ta réponse, mais je ne vois pas comment continuer avec ça...
A part dire que || Av || est strictement positif, je ne vois pas comment COMMENCER....

Tu as une fonction continue v -->|| Av || sur un fermé borné (ensemble des v de norme 1); Elle atteint donc ses bornes.

GagaMaths
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par GagaMaths » 30 Oct 2011, 12:09

Maxmau a écrit:Tu as une fonction continue v -->|| Av || sur un fermé borné (ensemble des v de norme 1); Elle atteint donc ses bornes.


En effet, oui...
Mais alors dans ce cas il faut supposer que ||v|| = 1 ?

Maxmau
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par Maxmau » 30 Oct 2011, 12:42

GagaMaths a écrit:En effet, oui...
Mais alors dans ce cas il faut supposer que ||v|| = 1 ?


||Av||/ ||v|| = ||A(u)|| où u =v/||v||

GagaMaths
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par GagaMaths » 30 Oct 2011, 12:55

Maxmau a écrit:||Av||/ ||v|| = ||A(u)|| où u =v/||v||


Oui je suis d'accord avec ça... !
Mais... tjrs pas clair dans ma tête où tu veux en venir ,je suis dsl....

Maxmau
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par Maxmau » 30 Oct 2011, 13:05

Maxmau a écrit:Tu as une fonction continue v -->|| Av || sur un fermé borné (ensemble des v de norme 1); Elle atteint donc ses bornes.

Elle atteint en particulier son minimum en u0 et K=|| Au0 ||>0
Donc pour tout u de norme 1 || Au ||>= K>0

GagaMaths
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par GagaMaths » 30 Oct 2011, 13:15

Maxmau a écrit:Elle atteint en particulier son minimum en u0 et K=|| Au0 ||>0
Donc pour tout u de norme 1 || Au ||>= K>0



D'accord j'ai compris, j'ai rédigé la preuve et maintenant tout est clair...
Il fallait penser à cette fonction continue...

Par contre ce qui me gêne c'est que je ne me sers pas du fait que A est inversible, car dans l'énoncé c'est "en déduire"....

Maxmau
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par Maxmau » 30 Oct 2011, 13:22

GagaMaths a écrit:D'accord j'ai compris, j'ai rédigé la preuve et maintenant tout est clair...
Il fallait penser à cette fonction continue...

Par contre ce qui me gêne c'est que je ne me sers pas du fait que A est inversible, car dans l'énoncé c'est "en déduire"....

mais si !!
Ca permet de dire qu'on ne peut avoir Au = 0 avec norme de u égale à 1 et donc de dire que la norme de Au (avec norme de u =1 ) est toujours >0 d'où une valeur minimum >0

Il y aurait bien une méthode plus élémentaire (qui n'utilise pas le th évoqué ) mais plus longue à expliquer .. mais .. manque de temps

GagaMaths
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par GagaMaths » 30 Oct 2011, 13:26

Maxmau a écrit:mais si !!
Ca permet de dire qu'on ne peut avoir Au = 0 avec norme de u égale à 1


Au = 0 signifie ||Au|| = 0 donc ||A||. ||u|| = 0 donc ||A|| = 0.
ceci est incompatible avec l'inversibilité de A.... ?

Maxmau
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par Maxmau » 30 Oct 2011, 13:35

GagaMaths a écrit:Au = 0 signifie ||Au|| = 0 donc ||A||. ||u|| = 0 donc ||A|| = 0.
ceci est incompatible avec l'inversibilité de A.... ?

"||Au|| = 0 donc ||A||. ||u|| = 0 " NON!!

Je dis simplement qu'on ne peut avoir Au =0 avec ||u|| = 1 (d'où u non nul) sinon le noyau de A ne serait pas réduit à zéro et A ne serait pas inversible

GagaMaths
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par GagaMaths » 30 Oct 2011, 13:43

Maxmau a écrit:"||Au|| = 0 donc ||A||. ||u|| = 0 " NON!!

Je dis simplement qu'on ne peut avoir Au =0 avec ||u|| = 1 (d'où u non nul) sinon le noyau de A ne serait pas réduit à zéro et A ne serait pas inversible



Ah oui d'accord, en effet !
Merci pr tes indications !!

GagaMaths
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par GagaMaths » 30 Oct 2011, 18:03

Pr la suite de mon exo je suis bloquée...
Voici ce que j'ai fait, et l'énoncé entier :

Soit F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
avec tous les xi, yi, ki > 0, (a,b,c) dans R3.

Ce que j'ai démontré dans l'exercice précédemment :
1) F est convexe.
2) || v || <= K|| A.v || (avec A la matrice dite précédemment, avec comme conditions que les trois points ne sont pas alignés).

Question 3) :
On suppose qu'il existe au moins trois points (xi,yi) non alignés.
Montrer que F est coercive, ie :
F(a,b,c) est coercive si par définition :
F(a,b,c) tend vers +oo lorsque || (a,b,c) || tend vers +oo.

GagaMaths
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par GagaMaths » 30 Oct 2011, 21:10

A gauche si v = (a,b,c) j'ai ce qu'il me faut, mais je ne vois pas comment abvoutir à F....

Maxmau
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par Maxmau » 31 Oct 2011, 10:57

[quote="GagaMaths"]Pr la suite de mon exo je suis bloquée...
Soit F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
avec tous les xi, yi, ki > 0, (a,b,c) dans R3.

/QUOTE]
???? Si a<0 b<0 c<0 ln(axi+byi+c) n'est pas défini
?? les ki

GagaMaths
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par GagaMaths » 31 Oct 2011, 12:09

[quote="Maxmau"][quote="GagaMaths"]Pr la suite de mon exo je suis bloquée...
Soit F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
avec tous les xi, yi, ki > 0, (a,b,c) dans R3.

/QUOTE]
???? Si a 0 ... !!

GagaMaths
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par GagaMaths » 31 Oct 2011, 12:19

et les ki sont strictement positifs

Maxmau
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par Maxmau » 31 Oct 2011, 13:51

[quote="GagaMaths"]Pr la suite de mon exo je suis bloquée...
Voici ce que j'ai fait, et l'énoncé entier :

Soit F(a,b,c) = Somme((axi+byi+c)-ln(axi+byi+c)) + Somme ln(ki!)
avec tous les xi, yi, ki > 0, (a,b,c) dans R3.

Ce que j'ai démontré dans l'exercice précédemment :
1) F est convexe.
2) || v || 0

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par GagaMaths » 31 Oct 2011, 14:00

Maxmau a écrit:qq idées
1/ je note v la colonne (a,b,c)
Somme(axi+byi+c) est la norme 1 de Av (puisque les termes sont positifs)
La norme 1 est supérieure à la norme euclidienne
Utilise alors ton rappel 2/
2/ 1 - (ln(x)/x) est minorée par une constante >0


Merci !
Par contre pr le 1/, quand tu dis que c'est la norme 1 de Av, le problème c'est que i va de 1 jusqu'à 250, alors qu'à priori
Av = (ax1+by1+c, ax2+by2+c, ax2+by2+c)
donc ||Av||_1 = ax1+by1+c + ax2+by2+c + ax2+by2+c
car A est 3*3 ...

 

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