Matrice Jacobienne

[ArtyB]

Bonjour,

Aujourd'hui j'essaye de comprendre ce que sont les matrices jacobiennes, ça ne m'a pas l'air complique mais je vous demande confirmation.
Si j'ai bien compris comment cela fonctionnait,
Si j'ai:


Alors, la matrice jacobienne est:



Est-ce bien cela ?

[ArtyB]

Haha ça n'a pas l'air de plaire à grand monde cette question

[L.A.]

Bonsoir,

Oui c'est cela, tu as tout compris.

[ArtyB]

Merci beaucoup !
C'est assez simple donc !
Apparemment on peut se servir de la matrice jacobienne dans les développements limités aussi.
La formule est au point M, avec MX vecteur
F(X)=F(M)+J(M)*MX

Je n'ai pas trouvé d'exemple, quelqu'un en aurait il un ou saurait il ou en trouver ?

[L.A.]

La matrice jacobienne de f en X_0 est par définition la matrice de la différentielle de f en X_0, donc c'est en effet cette matrice qui permet d'exprimer le terme d'ordre 1 dans le développement limité de f.

Ta formule me semble incohérente, je dirais plutôt

f(X) = f(X_0)+J_f(X_0)*(X-X_0) + o(X-X_0)

Pour bien comprendre il te suffit d'écrire les composantes f = (f_1,...,f_m) et de te ramener à des fonctions de n variables f_i à valeurs réelles. La jacobienne ne fait que rassembler les différentielles de toutes les composantes.

[ArtyB]

C'est cette formule là:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_jacobienne#Matrice_jacobienne_2

J'ai bien compris comment était faîte la Jacobienne, mais comment l'utiliser pour un développement limité ? Je veux dire, comment appliquer cette formule ?

[L.A.]

OK tu parlais du vecteur MX, je voyais ça comme un produit de X par une matrice carrée M...

Eh bien tu peux reprendre ton exemple de départ et poser M le point (x,y) et X un point voisin (x+h,y+k) avec h et k petits, de sorte que le vecteur MX vaut (h,k). Tu obtiens une approximation de f(X) au premier ordre (de la forme f(M) plus un reste qui est linéaire en h et k).

[ArtyB]

Comme je n'écrivais pas ça en LaTex j'ai précisé "avec MX vecteur"

Oui d'accord, c'est facile à tester en fait haha, merci beaucoup à toi !