Matrice et inverse

[Azuriel]

Voilla un exo qui me bloque un peu..la commutation entraine une base de diagonalisation commune si les endo sont diagonalisable mais je sais qu'il y a une autre methode en manipulant les matrice et je vois pas trop comment faire..
Soient A,B dans Mn(C) telles que AB=BA, et il existe k dans IN tel que B^k=0.
1) Montrer que A+B € Gln(C) <=> A € Gln(C)
2) Calculer det(A+B) en fonction de det(A)

[abcd22]

Bonjour,
Quelqu'un (Aspx je crois) a demandé de l'aide pour exactement le même exercice il n'y a pas longtemps.

[Nightmare]

Salut :happy3:

1) A et B sont dans Mn(C) donc trigonalisables.

En outre elles commutent donc sont simultanément trigonalisables

B étant nilpotente, elle est semblable à une matrice triangulaire T dont tous les éléments diagonaux sont nuls.

On note et

Alors

Ainsi det(A+B)=det(S+T)=det(S)

Ainsi A+B inversible S inversible A inverisble.

[leon1789]

Bonjour,
Quelqu'un (Aspx je crois) a demandé de l'aide pour exactement le même exercice il n'y a pas longtemps.

Oui ! Aspx va nous faire un résumé de toute la discussion :id:

[Azuriel]

Oui je l'avais résolu comme cela a la façon des endo diagonalisable mais je sais qu'il y a une autre methode en factorisant A+B par A ou un truc du genre et je vois pas.

Sinon pour la demo de trigonalisable dans la meme base comment on le montre rigoureusement ? car ma demo montre apres que ça marche mais je sais pas si c'est la plus rigoureuse. En tout cas merci pour la réponse et de me redemontrer que si deux endo commutent alors leurs sous espace stable sont stable par l'autre, et je vois que dans le topic de Apx ça a été fait de l'autre maniere. Merci.
D'ailleurs pour rester dans les matrices j'en ai un autre qui me pose un plus gros probleme qui est celui là où là par contre je n'ai aucune idée de comment partir:
On considère ØA(S) = AStA avec S € Sn(IR).
1) On suppose que A est diagonale. montrer que ØA est diagonalisable.
Calculer le det(ØA) en fonction de det(A)
2) Même question lorsque A est diagonalisable
3) Que vaut det(ØA) lorsque A n'est pas inversible

Le probleme c'est que ØA est un endomorphisme de matrice dans les matrices c'est a dire que ma base sont ici les Ei,j non ? comment gerer le truc ?

[Nightmare]

Pour la trigonalisation simultanée, on fait un coup de récurrence sur la dimension pour montrer que les deux matrices ont un vecteur propre en commun, puis une autre récurrence sur la dimension pour montrer qu'il existe une base dans laquelle les deux sont triangulaires.

[Azuriel]

Ah d'accord merci.

[Nightmare]

Pour ton deuxième exo :

Une matrice symétrique réelle est toujours diagonalisable, ça devrait t'être utile :happy3:

[leon1789]

Oui je l'avais résolu comme cela a la façon des endo diagonalisable mais je sais qu'il y a une autre methode en factorisant A+B par A ou un truc du genre et je vois pas.

Oui, on peut factoriser A+N par A (inversible) en .
Ainsi on a .
Mais est nilpotente car A et N commutent.
Le problème revient alors à montrer que .
On traite alors un cas particulier du problème initial, ce qui est plus simple compte tenu que I est une matrice diagonale ! (et même plus !)

[abcd22]

Le probleme c'est que ØA est un endomorphisme de matrice dans les matrices c'est a dire que ma base sont ici les Ei,j non ? comment gerer le truc ?

Pour la question 1, on prend une base de l'ensemble des matrices symétriques de dimension n sur R (la base n'est pas l'ensemble des Ei,j, attention) et on calcule la matrice de ØA dans cette base.

[Azuriel]

Pour la question 1, on prend une base de l'ensemble des matrices symétriques de dimension n sur R (la base n'est pas l'ensemble des Ei,j, attention) et on calcule la matrice de ØA dans cette base.

Ce sont les Ei,i + (Ei,j+Ej,i) non?
Mais donc je vais choisir cela une fois que je me suis placé dans la base de diagonalisation de A ? J'ai un peu de mal a visualiser le truc.

Sinon un résultat également que j'ai jamais démontrer, que si on a uov=vou deux endo qui commutent alors les espaces qui s'ecrivent Ker(kelkechose de u) sont stable par v ? pourquoi ?

[abcd22]

Ce sont les Ei,i + (Ei,j+Ej,i) non?

Oui.

Mais donc je vais choisir cela une fois que je me suis placé dans la base de diagonalisation de A ? J'ai un peu de mal a visualiser le truc.

Pour la question 1 on suppose A diagonale donc pas de problème, on s'occupera de la question 2 après, une chose à la fois .

Sinon un résultat également que j'ai jamais démontrer, que si on a uov=vou deux endo qui commutent alors les espaces qui s'ecrivent Ker(kelkechose de u) sont stable par v ? pourquoi ?

Si u et v commutent, le noyau de u est stable par v : si x est dans ker(u), u(v(x)) = v(u(x)) = 0 donc v(x) est dans ker(u).
Si u et v commutent, les polynômes en u commutent aussi avec v, donc les noyaux des polynômes en u sont stables par v. En particulier les sous-espaces propres de u sont stables par v.