Matrice digonalisable

[ericsteph]

Bonjour, je bloque sur la diagonalisation de cette matrice:

soit A ecrite dans la base canonique

A=
1 a b c
0 1 d e
0 0 2 f
0 0 0 2

L'enoncé du probleme dit: donner une condition necessaire et suffisante sur (a, b, c, d , e, f) appartiennent a R^6 pour que cette matrice soit diagonalisable;

bon il est clait, que 2, 2, 1, 1 sont les valeurs propres, mais je bloque en designant les vecteurs propres...

[alavacommejetepousse]

bonjour

il faut chercher les dimensions des sev propres et donc le rang de A-I(4)et A-2I(4)

[Maxmau]

Bj

A quelle condition portant sur dimKer(A-I) = 4 – rang(A-I) et dim ker(A-2I)
la matrice A est diagonalisable ?.

Autre méthode
A est diagonalisable ss elle admet un annulateur simplement scindé

[tize]

Bonjour,
je pense que tu peux regarder les espaces propres :
Si M désigne ta matrice alors pour un vecteur propre associé à la valeur propre 1 M(x,y,z,t)=(x,y,z,t) donc t=z=0 et pour que M soit diagonalisable il faut et il suffit que la dimension des espaces propres soit la même que le multiplicité de ces valeurs propres, donc ici on doit avoir a=0 et

[ericsteph]

Bonjour, merci pour vos reponses, je vais les essayer,

simple question c'est quoi un annulateur simplement scindé, j'en ai jamais entendu parler... merci

[Maxmau]

Bonjour, merci pour vos reponses, je vais les essayer,

simple question c'est quoi un annulateur simplement scindé, j'en ai jamais entendu parler... merci

Un polynôme de degré n est dit scindé lorsqu'il admet n racines (dont certaines peuvent être confondues). Lorsque les n racines sont distinctes 2 à 2 ( n racines simples), ce polynôme est dit simplement scindé
Pour une matrice A, un annulateur est un polynôme P(X) tq le polynôme matriciel P(A) soit la matrice nulle.
Sur ton exemple le polynôme caractéristique est P(X)=(X-1)²(X-2)²
Cayley Hamilton dit que c'est un annulateur de A c'est à dire que:
P(A) = (A-I)²(A-2I)² = 0
P(X) est scindé ( degré 4 et 4 racines (2 racines doubles)) mais pas simplement scindé
Un th intéressant est celui que j'ai cité précédemment; une matrice est diagonalisable ss elle admet un annulateur simplement scindé

[ericsteph]

STP, donc en developpant (A-I)²(A-2I)²=0, on trouvera la condition en question de diagonalisation?!

[Maxmau]

STP, donc en developpant (A-I)²(A-2I)²=0, on trouvera la condition en question de diagonalisation?!

Non il faudrait montrer que si A est diagonalisable
(X-1)X-2) est un annulateur simplement scindé et que, réciproquement, si c'est un annulateur de A (cad (A-I)(A-2I) =0) alors A est diagonalisable.
Ce n'est pas difficile mais il faut connaître certains résultats
Donc: A diagonalisable ss (A-I)(A-2I) =0