Matrice diagonalisable

[jade75]

Bonsoir,

J'ai un problème dans un exercice :
Soit A matrice d'ordre 3 telle que (A-I)^3=0 et (A-I)^2 non nul.

1/ chercher les valeurs propres possibles de A
2/ (A-I) est-elle inversible ?
3/ A est-elle diagonalisable ?

J'ai essayé de faire quelques questions :

1/ Le polynôme annulateur est P(X)=(X-1)^3. 1 est la seule racine donc 1 une valeur propre possible de A.

2/ Si 1 est valeur propre alors il existe X vecteur propre tel que AX=X dons (A-I)X=0 donc 0 est valeur propre de A-I donc det(A-I)=0 donc A-I non inversible.
Mais c'est vrai que si 1 est valeur propre mais on le sait pas sinon

3/ Aucune idée, j'ai besoin d'aide, je pensais utiliser le sous espace propre mais rien de concluant.

Merci d'avance pour vos réponses.

[GaBuZoMeu]

Ce n'est pas "le" polynôme annulateur mais UN polynôme annulateur.
Si P est un polynôme annulateur de A alors toute valeur propre de A est racine de P.

Est-ce qu'une matrice peut être inversible si son cube n'est pas inversible ?

Si une matrice est diagonalisable et a comme seule valeur propre 1, quelle est cette matrice ?

[jade75]

Ce n'est pas "le" polynôme annulateur mais UN polynôme annulateur.
Si P est un polynôme annulateur de A alors toute valeur propre de A est racine de P.

Merci pour votre réponse mais on est d'accord qu'ici 1 est forcément valeur propre de A ? on a montré seulement que Sp(A) inclus dans {1} mais pas l'autre inclusion ...

Merci pour les 2 autres réponses.

[GaBuZoMeu]

Le polynôme minimal de (celui-là, il y en a bien un et un seul) divise n'importe quel polynôme annulateur de - donc en particulier .
Et les valeurs propres de sont exactement les racines de son polynôme minimal.

Autre façon : est valeur propre de si et seulement si n'est pas inversible.

[jade75]

D'accord merci, d'où le (A-I)^2 différent de 0.