Matrice application lineaire

[Obito31]

Bonjour,

J'aurai une question peut être bête..

J'aimerai savoir si 2 applications lineaire différentes peuvent avoir la même matrice mais dans 2 base différente ?

[Pseuda]

Bonsoir,

Bonne question. Je dirais que oui, par exemple une projection vectorielle (exprimée dans une base constituée des vecteurs de la projection) : c'est la même matrice, mais dans 2 bases différentes, cela fait 2 applications linéaires différentes.

Par contre une homothétie (qui multiplie tous les vecteurs par un même scalaire) ou une rotation par exemple a la même matrice quelque soit la base.

[Obito31]

Bonsoir pseuda et merci pour ta réponse

Pourai tu argumenter un peu plus l'exemple de projection s'il te plaît

[pascal16]

en 2D.
la symétrie d'axe Ox, dans le repère (O,i,j) et la symétrie d'axe Oy dans le repère (O,j,i)

[Kolis]

Bonjour pseuda !
Je crois que pour les rotations il manque un mot dans ta phrase.

[Pseuda]

Bonjour pseuda !
Je crois que pour les rotations il manque un mot dans ta phrase.

Bonjour Kolis,

Oui en effet, dans une base de même sens (direct ou indirect). Merci !

[Pseuda]

Bonsoir pseuda et merci pour ta réponse

Pourai tu argumenter un peu plus l'exemple de projection s'il te plaît

Bonjour,

Par exemple dans R^2 et sa base canonique e1=(1,0) et e2=(0,1), la projection sur Vect(e1) parallélement à Vect(e2) a pour matrice (1 0 0 0) dans la base (e1,e2) : en effet, p(e1)=e1, p(e2)=0.

Eh bien dans toute base (e3, e4) (par exemple la base (e1+e2, e1-e2)), la matrice de la projection sur e3 parallélement à e4 est aussi (1 0 0 0), soit la même, bien que les applications linéaires soient différentes.

Mais bien sûr si la matrice de 2 applications linéaires est la même dans la même base, alors c'est la même application linéaire.

[Ben314]

Salut,
On peut évidement donner des exemple pour "voir concrètement comment ça marche", mais sur le principe, c'est parfaitement inutile.
Normalement, ce que tu es sensé avoir compris, c'est que, une fois une base B de E fixée, à toute application linéaire de E->E on peut associer une unique matrice (sa matrice dans la base B) et que réciproquement, à toute matrice correspond à une unique application linéaire ayant cette matrice là dans la base B.
Et évidement, ce que tu en déduit, c'est que si tu a au départ une application linéaire F et DEUX bases B et B' alors tu as une matrice A associée à F dans la base B et une matrice A' associée à F dans la base B' (et il n'y a aucune raison que A=A').
Ensuite, il existe forcément une application linéaire G qui a comme matrice A dans la base B' (i.e. celle de F dans la base B). Et, à moins d'avoir A'=A, ben tu as forcément G différent de F vu que dans la base B' les matrices de F et G sont A et A'.

[Kolis]

Je pensais surtout au mot "orthonormée"...

[Pseuda]

Alors cela faisait 2 mots.

[Obito31]

Merci pseuda pour ton exemple
Et merci à ben pour la cas général