Matrice d'application linéaire

[PhilT]

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à résoudre cet exercice svp, sur lequel j'ai des doutes quant à mes solutions.

Enoncé : Soit A une matrice carrée d'ordre 2 telle que = 0.

1/ Montrer que = 0.

2/ Trouver toutes les matrices qui commutent avec A.

Pour la question 1, je considère l'endomorphisme non nul f de

Sachant que , compte tenu des hypothèses, nécessairement , est nulle, donc .

Est-ce acceptable comme réponse.

Pour la question 2, je ne sais pas y répondre de façon complète.
Si les 4 coeff de la matrice sont non nuls, je ne sais pas traiter.
Si au moins un des coeff est nul, la je trouve que les matrices qui conviennent sont de la forme
ou ,

et les matrices qui commutent sont resp. ou

Voilà où j'en suis.

Merci par avance de m'indiquer comment résoudre complètement cette question

[SLA]

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à résoudre cet exercice svp, sur lequel j'ai des doutes quant à mes solutions.

Enoncé : Soit A une matrice carrée d'ordre 2 telle que = 0.

1/ Montrer que = 0.

2/ Trouver toutes les matrices qui commutent avec A.

Pour la question 1, je considère l'endomorphisme non nul f de

Sachant que , compte tenu des hypothèses, nécessairement , est nulle, donc .

Est-ce acceptable comme réponse.

Pour la question 2, je ne sais pas y répondre de façon complète.
Si les 4 coeff de la matrice sont non nuls, je ne sais pas traiter.
Si au moins un des coeff est nul, la je trouve que les matrices qui conviennent sont de la forme
ou ,

et les matrices qui commutent sont resp. ou

Voilà où j'en suis.

Merci par avance de m'indiquer comment résoudre complètement cette question

Salut,
Malheureusement ta preuve est fausse. On peut très bien avoir deux matrices A et B non nulles et telles que A.B=0.
Je suppose que tu ne disposes pas de l'outil "polynome d'endomorphisme", donc je te propose une autre piste:
On est en petite dimension et je suppose que, par contre, tu disposes du théorème du rang.
Montre dans un premier temps que le cas rg(A)=2 est impossible et que rg(A)=0 est trivial.
On suppose alors que rg(A)=1.
A l'aide notament des identités A.A^2=0 et A^2.A=0 tu pourra montrer les inclusions suivantes et . Le reste, je te le laisse.
Cordialement