|f| majoré |f"| majoré Montrer que |f'| majoré

[duchere]

Bonjour, le titre dit tout sauf que f est C2 défini sur ICR
Majorer par est simple à partir de la formule de Taylor.
Cependant, je voudrais montrer que la borne sup des de cette famille de fonctions est où et

Pourquoi ? Eh bien de maniere pas très mathématique, je pense que c'est ca.

En effet, Si on veut avoir la vitesse maximale, il faut partir de et aller jusqu'à avec l'accélération maximale , puis pour ne pas dépasser , avoir l'accélération jusqu'à .
On a donc car sinon on aurait dépassé et pour ne pas dépasser
où est la date à laquelle la vitesse est maximale.
On a =>
=>=>

Bon, voilà le blasphème est fait.

Quelqu'un aurait-il une idée pour montrer que c'est la borne sup rigoureusement ?

Rq : elle n'est pas atteinte car l'accélération ne peut pas être discontinue car f est C2
Donc il faudra un passage de +M2 à -M2 de l'accélération le plus "rapide" possible.

Merci d'avance.

[yos]

Ton heuristique est bonne et le résultat que tu veux prouver est sûrement vrai. Ton dernier argument (double intégration à partir d'une valeur particulière) n'est pas valable cependant.
Je tiens pas encore la preuve, mais je crois avoir déjà fait un truc dans ce goût là.
A la fin tu dis que la borne sup de f' est pas atteinte alors que f' est continue. C'est bizarre.

[duchere]

je n'ai pas compris de quel dernier argument tu parles.

Sinon pour la remarque à la fin , je vais mieux m'exprimer.

En fait, le cas que j'étudie où a=+M2 de 0 à tmax et a=-M2 de tmax à 2 tmax n'est jamais atteint car a = f" n'est pas continue en tmax ( passage de -M2 à +M2).
Il faudrait donc considérer une fonction qui a une accélération dont la pente est infinie en tmax.
C'est pour cela que la borne sup ne serait pas atteinte.
Je ne sais pas si je me suis mieux expliqué....

[fahr451]

bonjour

reprends donc la démo ( formule de taylor) qui donne la majoration et cherche f pour laquelle il y a égalité
le sup est un max atteint pour un certain f

[duchere]

Salut

Bon alors déjà la borne sup n'est pas forcément atteinte !

exemple : f(t)=2+exp(-t)

Beh la borne inf de f est 2, elle n'est jamais ateinte !

Donc le but n'est pas forcément de trouver la fonction f qui a le plus grand sup |f'|

Bon, mais en fait : j'ai fait une erreur dans mon raisonnement "physique".

On travaille sur les fonctions C2 sur I C R

Or, j'ai dit que si a=+M2 de t=0 à t=tmax, il devait forcément y avoir a=-M2 de t=tmax à t=2tmax parce que sinon, f dépasserait M0 à t=2tmax !
Sauf que I peut très bien etre [n'importe quoi, 2tmax] et dans ce cas là, pas de problème.

Donc par rapport à ma démo physique de tout à l'heure, on a toujours une tangente horizontale en t=0 mais plus de tangente horizontale lorsque f atteint +M0

Au contraire ! C'est là que v = vmax.

D'où tmax est tel que => D'où
Et on retrouve le résultat facile à démontrer avec la formule de taylor AVEC reste intégral !

[duchere]

Donc elle est atteinte !
Mais bon elle n'est pas unique ! parce que

toute fonction définie sur un intervalle de la forme [a,b] (a peut etre -infini) avec b>=a+2sqrt(M0M2) telle que

pour tout x de [a,b] |f|<=M0 |f"|<=M2
f(b-2sqrt(M0M2))=-M0
pour tout x de [b-2*sqrt(M0M2),b] f"(x)=M2

est "une borne sup" puisque ce sont pour elles que sup|f'| est maximal

Donc la notion de borne sup n'a pas vraiment là de signification

Non ?

[fahr451]

je ne suis pas sûr de comprendre

tu as M1 =< racine ( 2M0M1)

il existe f ( à trouver) telle que M 1 = racine (2M0M2)

donc c 'est la meilleure inégalité.

[yos]

Je ne dis pas que est toujours la borne sup de |f'|, mais que l'inégalité est la meilleure possible.
Voilà une preuve :
TL donne :
f(t+h)=f(t)+hf'(t)+h²/2f''(u) et f(t-h)=f(t)-hf'(t)+h²/2f''(v)
d'où 2hf'(t)=h²/2[f''(u)-f''(v)]+f(t-h)-f(t+h),
donc .
Comme c'est vrai pour tout h,
.

[duchere]

Non c'est 2 * sqrt(M0M2)

par contre je modifie ce que j'ai raconté, les bornes sup dont j'ai parlé peuvent etre définie sur un intervalle de la forme [a,b] avec b>=a+2*sqrt(M0M2) et b peut etre + infini.

Bon mais ca c'est pas grave

Bon pour la démo mathématique tu dis que f(x)=f(y)+(x-y)f'(y)+int(y,x,(x-t)f"(t)dt)

Bon beh là tu poses x=y+h ou y-h avec h>=0 on est obligé de faire les deux cas

Tu en déduis une majoration de f'(y) en fonction de h.Notons là phi(h).
Vu que c'est pour tout h, c'est en particulier lorsque phi(h) est minimum.
Tu cherche le minimum de phi(h) en dérivant.
Et tu trouves le résultat !

Et vu que la fonction définie sur I=[0,2sqrt(M0M2)] qui à 0 associe -M0 et telle que quelque soit x de I, f"(x)=M2 atteint 2*sqrt(M0M2) (c'est f' qui atteint cette valeur) , c'est la borne sup !!

Voilà c'est tout !
Donc je m'étais embrouillé !
Je voulais étendre la notion de borne sup à des fonctions !

[duchere]

euh voilà c'est en gros la mm démo que moi mais t'as du louper un 2 au passage.

[duchere]

Je comprends pas trop ta démo
c'est quoi le u et le v ?
Moi j'connais que taylor reste intégral

[yos]

1) C'est Taylor-Lagrange : il existe u entre t et t+h ...
2) Où est-ce qu'il manque un 2 ?
3) Je ne prouve pas que c'est la meilleure borne. Pour ça, il faudrait exhiber une fonction pour laquelle il y a égalité et je ne vois pas.

[duchere]

Non mais c'est carément une mauvaise borne vu l'exemple de fonction que je t'ai donnée.
f définie sur [0,2sqrt(M0/M2)] telle que f(0)=-M0 et f"(x)=+M2

On a bien |f|<=M0 car f(2sqrt(M0/M2))=+M0 et |f"|<=M2

et f'(2sqrt(M0/M2))=2sqrt(M0M2>sqrt(2M0M2) !

Non?

[yos]

C'est parce que l'inf que j'utilise est réalisé pour h assez grand
( je crois).
Alors si ta fonction est pas définie jusque là, c'est pas bon.
Avec f sur R c'est OK.

[fahr451]

duchère cette inégalité est valable pour toute fonction

comment veux tu qu 'elle donne une égalité pour toute fonction?

il suffit au contraire d e trouver une fonction qui réalise l égalité pour affirmer qu'on ne peut pas améliorer l'inégalité (inégalité qui doit rester vraie pour toute fonction)

suis je clair ?

[duchere]

fahr t pa du tout clair j'i rien compris lol :)

On cherche à majorer le f' de TOUTES LES FONCTIONS dont f est majoré par M0 et f" par M2

Alors si j'en trouve une dont f' n'est pas majoré par le machin qu'il me donne eh bien c'est que ce machin est faux.


Par contre ton histoire de taille de h , c'est pas bête !
Mais bon ca change rien au problème vu que dans ma fonction la taille de l'intervalle est supérieure.

Donc en fait, 2sqrt(M0M2 est la borne in à condition que l'interval soit de taille >= 2sqrt(M0M2)

Bon mais dans ta démo normalement tu devrais savoir hM2 et non hM2/2 donc demain pasque là c tard, jferai la démo ac taylor si tu veux.

Mais en tout cas vu mon exemple de fonction. ca peut pa etre ce que tu dis, il me semble.

[fahr451]

ha mais faudrait peut être préciser sur quel intervalle on travaille
normalement c 'est toi qui dois le mentionner au début...

[duchere]

N'importe quel intervalle ! c'est un intervale non vide de R.

Donc si cet intervalle est qcq : c'est ce que je dis.

En revanche, si elle est définie sur R, c'est ce qu'il dit.
Mais je peux pas le justifier vraiment si ce n'est de maniere "physique"
C'est que lorsque l'intervalle est fini (il peut letre quand I est qcq) eh bien il n'est pas genant de dire que a=M2 = cste juesqu'à atteindre M0 car on arrete son ensemble de définition des qu'elle atteint M0.

Mais si elle est définie sur R, il faut qu'elle ait toujours une tangente horizontale lorsqu'elle passe par +/-M0. C'est évident.

[fahr451]

finalement tu fais les questions et réponses c'est mieux

[duchere]

Salut

Bon beh au final c'est un peu la merde.
Parce que si on considère un intervalle quelquonque, on peut rien faire parce qu'on utilise un h qui peut être trop grand !

Donc finalement, ca nous oblige à travailler sur R !

Parce que sinon on n'a rien le droit de dire !

Et si on travaille sur R, c'est