"P implique Q" équivaut à "Non P ou Q"

[Kugge]

Bonjour,
Je ne comprend pas l'équivalence suivante :
Car lorsque P est faux, Q peut être vrai ou faut on ne peut pas savoir si P implique Q, alors pourquoi dire que cela est vrai ? Et que viens faire ici ?

Merci d'avance pour vos réponses

[GaBuZoMeu]

Tu seras peut être plus à l'aise si tu raisonnes sur la négation.

Quand est-ce que est vrai, autrement dit quand-est-ce que est faux ?
Quand est vrai et que est faux, n'est-ce pas ?
Tu viens de vois que est équivalent à . Maintenant, repasse à . À quoi est équivalent la négation de ?

PS. Rassure-toi, la difficulté psychologique que tu rencontres est courante. Il y a même des gens qui ne la surmontent pas. Je pense que toi, tu y arriveras.
Je pense aussi qu'une bonne part de la difficulté vient du fait que le symbole est souvent utilisé, à tort, comme une abréviation (qui n'abrège rien du tout) pour "donc" au cours du raisonnement.
Cette mauvaise habitude bloque la compréhension du fait que est un connecteur logique au même titre que "et", "ou". Si et sont deux propositions, est une nouvelle proposition dont la valeur de vérité est fonction des valeurs de vérité pour et . Quelle valeur de vérité proposerais-tu pour (qui se lit "si P, alors Q") quand est faux ?

PPS. J'ai vu dans un autre fil que tu es à l'aise avec les quantificateurs. Tu es d'accord que l'énoncé (où est une variable réelle) est vrai, je pense. Ça veut bien dire que pour tout la proposition est vraie, tu es d'accord ? Y compris pour . Ou pour .

[GaBuZoMeu]

En prime, un petit exercice classique sur le "si ... alors ..." :

On a quatre cartes posées sur une table. Sur chaque carte, une face représente une lettre et l'autre face un nombre. Les quatre faces visibles sont 11, B, U, 4.

Combien de cartes faut-il retourner au minimum (et lesquelles) pour vérifier l'assertion :
"Pour toutes les quatre cartes, si la face nombre porte un nombre pair, alors la face lettre porte une voyelle."

En espérant que cette fois-ci lycéen95 ne viendra pas répondre à ta place.

[LB2]

Je complète la réponse de GBZM :
On attribue à chaque proposition logique une valeur de vérité (Vrai ou Faux)
On appelle table de vérité d'un énoncé E(P,Q) dépendant de P et Q la fonction de 2 variables allant de {Vrai,Faux}x{Vrai,Faux} dans {Vrai, Faux}, qui pour chaque couple de valeurs de vérité de (P,Q) associe la valeur de vérité de E(P,Q).

si tu fais la table de vérité des propositions "P implique Q" et "Non P ou Q", tu t'aperçois que ce sont les mêmes. Ces propositions sont donc équivalentes.

Question subsidiaire : Combien y a -t-il d'énoncés différents possibles (on parle d'opérateur logique) à 2 variables ?

[Kugge]

La négation de est donc on a bien en passant par (qui est le cas dans lequel P n'implique pas Q : P vrai et Q faux)

Et pour lorsque P est faux, j'aurais tendance a dire que c'est vrai car si la première condition est fausse peu importe la deuxième, l'assertion est vraie

Concernant le PPS. nous sommes d'accord

Et à propos de l'exercice, j'interprète la consigne de deux tacons différentes :
- "Pour toutes les quatre cartes, si la face VISIBLE nombre porte un nombre pair, alors la face lettre porte une voyelle." Dans ce cas là il suffit de retourner 1 carte, la carte "4", car c'est la seule qui obéis a la règle, je pense

- "Pour toutes les quatre cartes, si UNE face nombre porte un nombre pair, alors la face lettre porte une voyelle." Alors il faut retourner 4 cartes, la carte U pour vérifier qu'elle porte un nombre pair, la carte 4 pour vérifier qu'elle a une voyelle, la carte 11 pour vérifier qu'il n'y a pas de voyelle derrière et la carte B pour vérifier qu'il n'y a pas de nombre pair derrière.
___

A propos de la réponse de LB2 :

"si tu fais la table de vérité des propositions "P implique Q" et "Non P ou Q", tu t'aperçois que ce sont les mêmes"

certes mais cela suffit pour nous permettre de dire que ces dernières sont équivalentes ? J'ai plus l'habitude des raisonnement d'équations avec des équivalences etc, ca me trouble

"Combien y a -t-il d'énoncés différents possibles (on parle d'opérateur logique) à 2 variables ?" Honnêtement, je ne sais pas, je dirais une infinité a première vue ? Mais je pense que c'est faux, je ne saurait même pas me justifier

[vladi]

certes mais cela suffit pour nous permettre de dire que ces dernières sont équivalentes ?

Bonjour

dans ta question (que je trouve mal posée (l'équivalence est mal utilisée ici dans ta question)

il te faut considérer si il est possible de remplacer P implique Q (connecteur logique) par NON P OU (non exclusif) Q

pour ce faire en notant v(X) la valeur de vérité d'une proposition X

tu dois vérifier que tu as toujours v(X implique Y)=v(NON Y OU(non exclusif) Y)

pour tout X et tout Y

[GaBuZoMeu]

Tu as loupé l'exercice.

L'énoncé me semble clair pourtant. Reprécisons. Une carte a deux faces, une face nombre et une face lettre. Il s'agit de vérifier
"Pour toute carte appartenant à l'ensemble des quatre cartes sur la table, si la face nombre de la carte porte un nombre pair, alors sa face lettre porte une voyelle"

C'est plus clair ?

Sinon, j'espère que tu as compris que la proposition est bien équivalente à la proposition .
Juste pour te troubler , j'ajoute que cette équivalence est valable en logique classique, mais pas en logique intuitionniste.

[Kugge]

Tu as loupé l'exercice.

L'énoncé me semble clair pourtant. Reprécisons. Une carte a deux faces, une face nombre et une face lettre. Il s'agit de vérifier
"Pour toute carte appartenant à l'ensemble des quatre cartes sur la table, si la face nombre de la carte porte un nombre pair, alors sa face lettre porte une voyelle"

C'est plus clair ?

Sinon, j'espère que tu as compris que la proposition est bien équivalente à la proposition .
Juste pour te troubler , j'ajoute que cette équivalence est valable en logique classique, mais pas en logique intuitionniste.

J'ai ENFIN le truc (je crois).
Il faut donc retourner 2 cartes : 4 pour vérifier qu'elle possède une voyelle sur son autre face ainsi que B pour vérifier qu'elle n'as pas un nombre pair sur son autre face ?

(et je me contenterai de la logique classique sinon ca risque d'être compliqué )

[GaBuZoMeu]

OUI !

"si la face nombre de la carte porte un nombre pair, alors sa face lettre porte une voyelle" est équivalent à "la face nombre de la carte porte un nombre impair ou sa face lettre porte une voyelle"

Quand on voit un nombre impair ou quand on voit une voyelle, c'est donc tout bon. Si on voit un nombre pair, il faut vérifier que l'autre côté porte une voyelle pour vérifier la disjonction. Et si on voit une consonne, il faut vérifier que l'autre côté porte un nombre impair pour vérifier la disjonction.

[vladi]

Juste pour te troubler , j'ajoute que cette équivalence est valable en logique classique, mais pas en logique intuitionniste.

il ne se troublera pas sachant que dans cette logique là (intuitionniste ) le principe du tiers exclu ne s'applique pas

comme ce principe dit que "soit une proposition est vraie, soit sa négation est vraie"

du coup on ne peut donc pas établir l'égalité

v(X implique Y) = v(NON X OU (non exclusif) Y) pour tout X et tout Y

sans ce principe là :

sachant que si X est vrai on n'est pas certain que NON X soit faux

et que si NON X est vrai on est pas certain que X soit faux

[GaBuZoMeu]

sachant que si X est vrai on n'est pas certain que NON X soit faux

En logique intuitionniste, on est certain que si X est vrai alors (non X) est faux. Autrement dit, on a bien .

Par contre, on n'a effectivement pas .

si NON X est vrai on est pas certain que X soit faux

Manque de bol, on en est certain en logique intuitionniste (c'est même assez tautologique, du genre ).

Ce qui n'est pas certain, c'est que si (non X) est faux, alors X soit vrai.

[vladi]

Merci pour la correction GaBuZoMeu

je me suis complètement emmêlé les pinceaux (c'est important pourtant de bien saisir cela)

[Kugge]

C'est compris, merci bcp a tout ceux qui ont répondu pour votre aide

[LB2]

A propos de la réponse de LB2 :

"si tu fais la table de vérité des propositions "P implique Q" et "Non P ou Q", tu t'aperçois que ce sont les mêmes"

certes mais cela suffit pour nous permettre de dire que ces dernières sont équivalentes ? J'ai plus l'habitude des raisonnement d'équations avec des équivalences etc, ca me trouble

Si justement, A est équivalent (logique) à B si et seulement si A et B ont la même table de vérité.

"Combien y a -t-il d'énoncés différents possibles (on parle d'opérateur logique) à 2 variables ?" Honnêtement, je ne sais pas, je dirais une infinité a première vue ? Mais je pense que c'est faux, je ne saurait même pas me justifier

C'est un problème de dénombrement classique et assez facile une fois qu'on a compris le truc : pour construire un tel opérateur logique, il faut et il suffit de choisir l'image de chaque couple de valeur de vérité.
C'est à dire que pour chaque élément de {(V,V), (V,F), (F,V), (F,F)}, tu choisis un élément de {V,F}.
Par exemple, l'opérateur qui envoie (V,V) sur F, (V,F) sur V, (F,V) sur V, (F,F) sur F s'appelle "OU EXCLUSIF" ou "XOR"
Je repose donc la question : combien de tels opérateurs distincts peut-on construire? (il y en a un nombre fini).
Un excellent exercice est d'écrire la table de vérité de tous ces opérateurs.