Bonsoir,
Je veux démontrer que :
Si f est de classe C² ( définie dans [0,1] à valeurs dans R ) et f(0) =f '(1)=0
Alors Valeur absolue de l'intégrale de 0 à 1 de f <= 1/3 sup de la valeur absolue de f '' sur [0,1] .
(Je ne connais pas le code tex de valeur absolue et intégrale. Dites le moi si vous savez)
Je n'ai aucune idée, aucune piste... J'ai beau chercher...
Merci de votre aide.
Majoration d'intégrale
13 messages
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par bitonio » 24 Oct 2007, 19:25
\int et pour la valeur absolue ||
\int_0^1f(x)dx \leq \frac { sup_{x \in [0;1]} |f''(x) | } {3} donne
dx \leq \frac { sup_{x \in [0;1]} |f''(x) | } {3})
\int_0^1f(x)dx \leq \frac { sup_{x \in [0;1]} |f''(x) | } {3} donne
par Polly » 24 Oct 2007, 19:29
bitonio a écrit:\int et pour la valeur absolue ||
\int_0^1f(x)dx \leq \frac { sup_{x \in [0;1]} |f''(x) | } {3} donne
Merci tu n'as pas une idée pr la démo ? hiiii
par Nightmare » 24 Oct 2007, 19:31
Salut :happy3:
Soit=\frac{1}{2}t(t-1))
P"(t)dt=-\Bigint_{0}^{1} f'(t)P'(t)dt=\Bigint_{0}^{1} f"(t)P(t)dt)
en intégrant deux fois par parties, les crochets étant nuls.
On a alors par l'inégalité de la moyenne :
dt\| \le sup |f"(t)|\Bigint_{0}^{1} |P(t)|dt=\frac{sup|f"(t)|}{2} \Bigint_{0}^{1} t(1-t)dt=\frac{sup|f"(t)|}{2}\times \frac{2}{3})
Ie :
\|\le \frac{1}{3} sup |f"(t)|)
:happy3:
Soit
On a alors par l'inégalité de la moyenne :
Ie :
:happy3:
par Polly » 24 Oct 2007, 19:36
Merci,
J'ai bien compris mais je n'y aurais jamais pensé.
Qu'est ce qu'il t'as mis sur cette piste ?
J'ai bien compris mais je n'y aurais jamais pensé.
Qu'est ce qu'il t'as mis sur cette piste ?
par Nightmare » 24 Oct 2007, 19:38
L'idée était de faire apparaitre f'' en partant de l'intégrale de f, donc d'intégrer par partie. Après il fallait penser à introduire le polymôme de sorte à annuler les crochets.
Bref, une petite astuce (Ssstûce comme on dit chez nous) mais en y réfléchissant elle est naturelle.
Bref, une petite astuce (Ssstûce comme on dit chez nous) mais en y réfléchissant elle est naturelle.
par Polly » 24 Oct 2007, 19:40
Nightmare a écrit:L'idée était de faire apparaitre f'' en partant de l'intégrale de f, donc d'intégrer par partie. Après il fallait penser à introduire le polymôme de sorte à annuler les crochets.
Bref, une petite astuce (Ssstûce comme on dit chez nous) mais en y réfléchissant elle est naturelle.
En y réfléchissant un peu, tu as raison... Merci beaucoup!
par Polly » 24 Oct 2007, 19:44
Nightmare a écrit:Je t'en prie.
Oupsss...
J'ai un probème, dans la 1ere intégration par parties entre crochet j'ai [f*P'] et f(1)*p'(1) n'est pas nul ? Si ?
par Nightmare » 24 Oct 2007, 19:45
Mince j'avais lu f(1)=0 et non f'(1)=0
Bref, l'idée est la même, tu devrais pouvoir trouver un polynôme qui convient.
Bref, l'idée est la même, tu devrais pouvoir trouver un polynôme qui convient.
par Polly » 24 Oct 2007, 19:52
Nightmare a écrit:Mince j'avais lu f(1)=0 et non f'(1)=0
Bref, l'idée est la même, tu devrais pouvoir trouver un polynôme qui convient.
Tout à fait.
Avec P(t)=1/2* t(t-2) je pense que ça marche.
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