Majoration d'une intégrale

[Mysterion]

Bonjour,

J'essaye de résoudre le problème suivant :
Soit une fonction continue fixée. Montrer que, pour
tout  et pour tout , on a l’inégalité :



L'Indication : on pourra écrire et décomposer l’intégrale en conséquence.
Utiliser cette inégalité pour calculer .

Sachant que dans la question précédente j'ai calculé (utile à cette question sans doute)

Je n'arrive pas a démarrer. Déjà, je ne vois pas la décomposition des bornes de l'intégrale apporte...

[SimonB]

Bonjour,

Si tu veux nous demander de l'aide sur un exercice, donne-nous tout l'exercice. Par exemple la valeur de ...

[Mysterion]

oups...

[SimonB]

Ok, alors l'inégalité est juste. La décomposition de l'intégrale en deux termes ( et ) va te permettre de majorer terme à terme, le premier terme par le premier terme du membre de droite de ton inégalité, et le second terme par le second terme.

Pour le premier terme : majore par son sup sur l'intervalle .

Pour le second terme, note que est décroissante ; majore-la aussi par son sup sur l'intervalle , puis note que l'indication que je viens de donner te permet de simplifier l'expression de son sup. Dans ce qui te reste, en utilisant une inégalité triangulaire, tu t'en sors directement.

Pour la question suivante, désigne un nombre quelconque de ? Tu es sûr que tu ne veux pas parler d'une intégrale ?

[Mysterion]

Re....

Euh si j'ai bien compris, on majore et j'obtiens :

puis note que l'indication que je viens de donner te permet de simplifier l'expression de son sup

Quelle indication ?

et oui, pour la deuxième question c'est une intégrale en fait. Oublié le signe intégrale :

Utiliser cette inégalité pour calculer

[SimonB]

Re,

Re....

Euh si j'ai bien compris, on majore et j'obtiens :

Oui... Ce n'est pas totalement fini mais ça avance. Il faut encore triturer un peu chaque terme jusqu'à arriver à l'inégalité.

Quelle indication ?

Celle sur la décroissance.

[Mysterion]

Il faut encore triturer un peu chaque terme

A commencer par le premier terme.

Dans l'intégrale , le sup est considéré comme un scalaire ?

[SimonB]

Non, mais attention : le t dans le sup désigne une variable muette. Tu peux le remplacer par un x, par exemple. Du coup, tu te rends compte que ton intégrale est plus simple : tu intègres une constante...

[Mysterion]

Oui donc j'écris

Avec la valeur où g(x)-g(0) atteint sont sup.

[SimonB]

Oui, c'est ça.

[Mysterion]

Oui, c'est ça.

Avec la valeur où g(t)-g(0) atteint sont sup sur

Et après, je ne vois pas quoi faire de plus...

[SimonB]

Majore par inégalité triangulaire...

[Mysterion]

Majore par inégalité triangulaire...

[SimonB]

Et maintenant, les deux quantités par leur sup.

[Mysterion]

Et maintenant, les deux quantités par leur sup.

en tout ça me donne :



D'ici je n'aperçois toujours pas le bout du tunnel, surtout avec ce coefficient ...