Magma associatif, montrer que A(BC) = (AB)C, etc.

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Bonjour à tous,
toujours dans l'optique de démonter les mécanismes qu'on utilise sans forcément savoir exactement ce qui nous permet de les utiliser, je me pose désormais la question suivante : de quel droit peut-on écrire

1) Avec un Magma
, est donc un ensemble avec une loi de composition interne.

Dans la suite, sont des sous-ensemble de et sont des éléments de M.

On peut d'étendre la loi à en posant :
DEF :

Par abus de notation, on écrira que :



2) Si le magma est associatif, on peut montrer que :




3) Si le magma M est associatif et unifère, on peut montrer que


4) Si est inversible d'inverse , on peut montrer que :






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Comme souvent j'ai l'impression d'enfoncer beaucoup de portes ouvertes, mais j'ai aussi l'impression que beaucoup de cours utilisent ces résultats sans les démontrer ni même en parler.

Pour conclure : on peut écrire si :
(i) est un élément d'un magma associatif et unifère
(ii) un sous ensemble de
(ii) est inversible d'inverse .

[Kolis]

c'est peut-être une bonne idée de vouloir généraliser et introduire les opérations entre parties mais cela te fera une foule de résultats à retenir et, en cas de doute sur ta mémoire, tu seras obligé de recommencer à chaque fois.

Dans ton exemple (probablement dans un groupe) il est plus simple de revenir aux définitions avec des démonstrations du style :
Soit . Alors . Donc il existe tel que .
De là, et tu viens de démontrer que .
etc...

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c'est peut-être une bonne idée de vouloir généraliser et introduire les opérations entre parties mais cela te fera une foule de résultats à retenir et, en cas de doute sur ta mémoire, tu seras obligé de recommencer à chaque fois.

Dans ton exemple (probablement dans un groupe) il est plus simple de revenir aux définitions avec des démonstrations du style :
Soit . Alors . Donc il existe tel que .
De là, et tu viens de démontrer que .
etc...

Je trouve que ces résultats sont très facile à retenir. Tellement faciles qu'on finit par se demander si ils sont vraiment exacts. Car la sensation qu'on a est qu'on peut faire la même chose avec des ensembles qu'avec des éléments. Et ça permet d'aller très très vite.




La seule chose qu'on ne peut pas faire c'est simplifier. Ce n'est pas parce que que , même dans un groupe.

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Dans le cas des groupes, on peut aller encore plus loin :

est un groupe. ,
On note :
.

Propriétés :



, est un sous-groupe de ssi :




Tout cela permet de résoudre de façon très élégante le problème suivant :

Exercice : Soient et deux sous-groupes de .
Montrer que si et seulement si est un sous-groupe de G

Correction :
) Si est un sous-groupe de


) Si



Donc

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Je ne vais pas ouvrir un autre sujet car cela reste assez proche, mais j'ai quand même des questionnements.
Soit G un groupe fini et soient H et K deux sous-groupes de G. On cherche à calculer le cardinal de HK

Pour cela, on considère l'application définie par .
Cette application est surjective par construction.

Le but est de montrer que pour tout , .

Soit z un élément de HK. Alors il existe un couple tel que .







La plupart des livres que je lis affirment à partir de là que :


Vous je ne sais pas mais je trouve ça un peu légèrement abusé. Je suis peut-être plus royaliste que le roi, mais j'éprouve un besoin très fort d'étudier l'application définie par et de montrer qu'elle est bien définie et bijective. Sans cela je ne suis pas convaincu.

Qu'en pensez-vous ? J'en fais trop ?

Bon en fait elle est bien définie et surjective, on l'a montré, et l'injectivité est presque immédiate.
Si alors et

Mais ça me parait très important de le dire.

[Ben314]

Salut,

A mon avis, si "on passe sous silence" (entre guillemets) la bijectivité de l'application , ben c'est du fait que les deux lignes que tu as déjà écrite (citées çi dessus) montrent justement la bijectivité du bidule (de la première vers la deuxième, ça montre la surjectivité et de la deuxième vers la première, ça montre l'injectivité vu qu'à la première, c'est écrit d'où le caractère unique)

[chombier]

vu qu'à la première, c'est écrit d'où le caractère unique)

Bien vu ! Et merci