Longueur arc

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C.F
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longueur arc

par C.F » 21 Avr 2008, 11:20

Bonjours,
Est ce que quelqu'un pourrait me donner la démonstration qui permet de dire que tout arc de classe C1 est de longueur finie.
Merci

(Je dois démontrer un théorème et j'utilise cette affirmation mais je n'arrive pas à la démontrer)



vincent.pantaloni
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par vincent.pantaloni » 21 Avr 2008, 12:20

Qq indications:
Quelle est la formule pour déterminer la longueur d'un arc C1? Il y a pas une intégrale avec la dérivée qui intervient? Mais si f est C1, alors sa dérivée est continue... et :id: si elle est continue sur un intervalle, elle doit être majorée, (elle atteint même ses bornes, théorème de...) et donc l'intégrale sera aussi finie.
Reste à remplir quelques pointillés.

C.F
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par C.F » 21 Avr 2008, 13:15

en fait le but de ma démon est d'arriver à montrer que la longueur d'un arc C1 est égale à une intégrale faisant intervenir la dérivée...
du coup pour montrer que tout arc de classe C1 est de longueur finie je dois utiliser le théorème des accroissement finis mais je ne vois pas comment....
Merci de m'aider

vincent.pantaloni
Membre Naturel
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par vincent.pantaloni » 21 Avr 2008, 14:50

Mais alors quelle définition as-tu de la "longueur d'un arc"?

C.F
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par C.F » 21 Avr 2008, 15:00

d'aprés l'énoncé je sais que c'est = supLk(f) où Lk(f)=(somme de j=0 à n-1)||f(t (j+1)-f(tj)||

(je suis vraiment dsl pour l'écriture...je ne sais pas faire les symboles...)

Maxmau
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par Maxmau » 21 Avr 2008, 15:23

C.F a écrit:d'aprés l'énoncé je sais que c'est = supLk(f) où Lk(f)=(somme de j=0 à n-1)||f(t (j+1)-f(tj)||

(je suis vraiment dsl pour l'écriture...je ne sais pas faire les symboles...)


Bj
F étant C1 sur [a,b] ||f’(t)|| admet une valeur Max sur [a,b] .
Je note M =max ||f’(t)|| pour t dans [a,b]
D’après le théorème des accroissements finis
||f(ti+1) – f(ti)||<= Mi (ti+1 – ti)
où Mi = max ||f’(t)|| pour t dans [ti, ti+1]
A fortiori ||f(ti+1) – f(ti)||<= M (ti+1 – ti) et
L <= M [(t1 -t0) + (t2 – t1) +……….+ (tn –tn-1)] t0=a tn =b
Et donc L <= M(b-a)

C.F
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par C.F » 21 Avr 2008, 15:29

Merci bcp !!
je rencontre maintenant un autre problème,je n'arrive pas à montrer que :
Soit f une courbe de classe C1 de E où E est un espace normé complet. Montrer que si une subdivision k est obenue à partir d'une subdivision Ko en rajoutant des points de subdivision alors, Lko(f)<=Lk(f)

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 21 Avr 2008, 15:32

commence par rajouter un point ...

C.F
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par C.F » 21 Avr 2008, 15:37

J'ai voulu rajouter un point puis aprés utiliser l'inégalité triangulaire mais il y a un pb danse ce que je fais..Aprés j'ai la somme de deux normes or j'en veux juste une pou pouvoir écrire Lko(f)<=Lk(f)

Maxmau
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par Maxmau » 21 Avr 2008, 18:46

C.F a écrit:J'ai voulu rajouter un point puis aprés utiliser l'inégalité triangulaire mais il y a un pb danse ce que je fais..Aprés j'ai la somme de deux normes or j'en veux juste une pou pouvoir écrire Lko(f)<=Lk(f)


?? Ca parait pourtant évident

 

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