Lois de probabilité

[graoutte49]

Bonjour tout le monde,

Voilà j'ai un exercice dans un devoir maison que j'ai assez bien réussi sauf qu'il y a la dernière questions de cet exercice qui me pose problème.

Voici l'énoncé:
Un rayon laser est dirigé vers une cible difficile à atteindre. Dune statistique préalable, on en déduit que la probabilité pour que le rayon laser atteigne la cible est de 0,01. On fait l'expérience qui consiste à émettre n fois le rayon laser, les émissions étant deux a deux indépendantes et ayant même probabilité d'atteindre la cible.

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où la cible est atteinte par le rayon laser au cours de cette expérience.

Voici les questions:

1- Déterminer la loi de probabilité suivie par X. Dans le cas où n=300. Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de cette loi.

Ma réponse: X suit la loi Binomiale de paramètre B(300;0,01)
E(x)=np=3
Epsilon= racine (np*(1-p))=1,723

2- Pour une expérience avec un nombre d'essais, n> ou égal à 50, on admet qu'il est légitime d'approcher la loi de probabilité de X par une loi de Poisson.

a) Donner en fonction de n le paramètre lambda de cette loi de Poisson.
Ma réponse: Sachant que le nombre d'épreuves est très grand, n=300 et que la probabilité de l'évènement est très petit: p=0,01, on peut donc appliquer la loi de Poisson.
De plus, on peut approcher la loi Binomiale par la loi de Poisson. Pour cela, il faut que les conditions suivantes soit remplies:
n> ou égal à 50; p<0,1 et np<10
Ici n=300>ou égal à 50; p0,01<0,1; np=3<10
Les conditions sont remplies pour faire une approximation entre ces deux lois.
Sachant que lambda=np, cette loi de poisson a pour paramètre lambda=3

b)On estime que l'expérience est concluante lorsque le rayon laser atteint au moins trois fois la cible. Donner les valeurs de X correspondant à l'évènement "expérience non concluante", est exprimer la probabilité de cet évènement en fonction de lambda.

Ma réponse: On note les évènement suivants: P(A)= expérience concluante
P(A barre)= expérience non concluante
Sachant que l'expérince est concluante lorsque le rayon laser atteint au moins trois fois la cible, donc P(A)= P(X> ou égal 3)
On en déduit que P(A barre)= P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
J'ai calculer les valeurs de ces trois probabilités
Ensuite P(A barre) est donc = e-lambda*(lambda^0/0!)+e-lambda*(lambda/1!)+e-lambda*(lambda²/2!)=e-lambda(1+lambda+(lambda²/2))

c) Soit la fonction f définie sur x appartenant à R+ par f(x)= e(-x)(1+x+(x²/))
Etudier le sens de variation de f et calculer f(6.1); f(6.2) et f(6.3)

Ma réponse: J'i dérivée f(x) j'ai donc obtenus que la fonction est décroissante sur [0;+00[. Ensuite, f(6.1)=0.058; f(6.2)=0.054 et f(6.3)=0.05

Enfin la dernière question:
d)En utilisant les résultats de la questions c, donner un nombre n0 d'essais à partir duquel la probabilité de l'évènement "expérience concluante" est strictement supérieur à 0.95.

Et la je ne sais pas comment faire quelle démarche faut suivre je sais que la fonction ressemble à P(A barre) mais après je vois pas en quoi les résultats de la question c peut nous aider à répondre à cette question. :help:

Désolé c'est un peu trop long mais je voulais que se soit claire.
Merci d'avance pour votre aide

[DamX]

Bonjour,

au contraire détailler ça nous permet de comprendre le cheminement de l'exercice et en même temps de voir ce que tu as déjà fait par toi-même.

seule remarque sur tes réponses : "Sachant que le nombre d'épreuves est très grand, n=300 et que la probabilité de l'évènement est très petit: p=0,01, on peut donc appliquer la loi de Poisson.
De plus, on peut approcher la loi Binomiale par la loi de Poisson."
Je ne comprends pas bien l'utilité du "de plus" alors que tu répètes la même chose que la phrase d'avant.


Pour la dernière question, il faut bien se servir de la c) en oubliant l'hypothèse n=300 du début.

Tu as calculé que sachant lambda = np, la proba de ne pas être concluant est f(lambda) dont tu as étudié les variations et quelques valeurs en c).
On te demande de trouver le n tel que l'expérience est concluante dans plus de 95% des cas, c'est à dire non concluante dans moins de 5% des cas, or en c) tu as calculé que f(6.3) = 5%, donc ... ?

Damien

[graoutte49]

Don si j'ai bien compris pour que l'expérience soit concluante la probabilité est de 0.95 donc pour l'expérience non concluante la probabilité est de 0.05. Sachant que dans la question j'ai calculé f(6.3)=0.05 donc pour expérience non concluante n0=6.3. Mais il nous demande pour l'expérience concluante donc je dois faire un produit en croix?

[DamX]

Don si j'ai bien compris pour que l'expérience soit concluante la probabilité est de 0.95 donc pour l'expérience non concluante la probabilité est de 0.05. Sachant que dans la question j'ai calculé f(6.3)=0.05 donc pour expérience non concluante n0=6.3. Mais il nous demande pour l'expérience concluante donc je dois faire un produit en croix?

ce n'est pas n0 qui est égal à 6.3. Quel est la variable de la fonction f ?

[graoutte49]

à oui c x et donc lambda qui est égal à 6.3 mais alors comment trouver n0. Désolé cela parrait peut être bizarre que je comprenne pas un truc simple mais là à vrai dire j'ai du mal.
J'ai compris ce que vous m'avez expliqué mais alors comment trouver n0?

[Faraziel]

Bonjour, si tu as lambda egale a 6,3 et que tu sais que lambda = n*p, p n'as pas changé.
Donc ?

[graoutte49]

Donc n=lambda/p soit n=6.3/0.01? mais ce résultat correspond à l'expérience non concluante non!, Donc comment faire pour trouver n correspondant à l'expérience concluante?

[DamX]

Donc n=lambda/p soit n=6.3/0.01? mais ce résultat correspond à l'expérience non concluante non!, Donc comment faire pour trouver n correspondant à l'expérience concluante?

Ok on reprend:
Tu cherches le n0 à partir duquel la probabilité d'avoir une expérience concluante est > 0.95
Ceci est équivalent à
Chercher n0 tel à partir du quel la probabilité d'avoir une expérience non concluante < 0.05

or proba_non_concluant(lambda = 6.3) = f(6.3)=0.05

donc .. ?

[graoutte49]

Donc sachant que lambda=6.3 et que lambda =np et que p 0.05 donc n=lambda/p= 6.3/0.05
Est ce que c'est cela?