[probabilité L3] somme de deux lois normales

[marion1560]

Bonjour,


j'ai un petit problème de probabilité que je n'arrive pas à résoudre :

on repartit des billes noires et rouges sur un axe.
il y a trois fois plus de billes noires que de rouge.
on note X la variable aléatoire donnant la position d'une bille rouge sur l'axe.
on note Y celle donnant la position d'une bille noire.
X et Y sont indépendantes.
X suit une loi normale N(0,1) et Y une loi normale N(1,1).
on note f la fonction densité de X et g la fonction densité de Y.

soit M la variable aléatoire donnant la position d'une bille, peu importe la couleur.
quelle est la densité de M?

j'ai essayé de dire que M=X+Y :
j'ai essayé de faire P(Mje me dis que P(X+Y P(X
qu'en pensez vous?
merci d'avance.

[DamX]

Bonsoir,

Pourquoi aurais-tu M=X+Y ?

X+Y représente la somme des positions d'une bille rouge et d'une bille noire. Ce n'est pas la question ici.

Si tu choisis une bille au hasard, soit elle est rouge, soit elle est noire.
Donc par exemple la probabilité que ta bille soit positionnée avant m, c'est soit F(m) si c'est une bille rouge, soit G(m) si c'est une bille noire (j'ai mis des majuscules pour désigner les fonctions de répartition).

Et chacun de ces deux cas arrive avec une certaine proba, il y a trois fois plus de noire que de rouge, donc il y a une chanche sur 4 d'avoir tire une rouge et /4 une noire.

Donc en fait P(M
Je te laisse finir le calcul..

Damien

[DamX]

Par ailleurs si tu avais du effectivement calculer la loi de X+Y, c'est très bien connu pour deux gaussiennes indépendantes. Les moyennes et les variances s'ajoutent..
=> X+Y ~ N(1,racine(2)). (mon deuxième argument c'est l'écart type)

Damien

[marion1560]

merci beaucoup pour votre réponse.
j'ai un peu de mal avec P(M<m)=1/4*F(m) + 3/4*G(m) :

en détaillant un peu:
on a trois espaces et trois proba:
la proba sur
la proba sur
la proba sur
la proba sur

on cherche donc par la formule de proba total on a:



mais pourquoi P(M<m | X<m) correspond a la proportion de rouge?
en faite je vois pas bien pourquoi les proportions interviennent : non?

merci encore

[DamX]

merci beaucoup pour votre réponse.
j'ai un peu de mal avec P(M<m)=1/4*F(m) + 3/4*G(m) :

en détaillant un peu:
on a trois espaces et trois proba:
la proba sur
la proba sur
la proba sur
la proba sur

on cherche donc par la formule de proba total on a:



mais pourquoi P(M<m | X<m) correspond a la proportion de rouge?
en faite je vois pas bien pourquoi les proportions interviennent : non?

merci encore

Bonjour,

S'il s'agit de l'écrire vraiment proprement il faut trouver une expression correcte à M.

Et pour ça on a besoin d'une autre variable aléatoire S, qui vaut 1 si la bille est rouge et 0 si elle est noire. Dans ce cadre on a :
M = 1{S=1}*X + 1{S=0}*Y
Où 1 est l'indicatrice. Tu comprends ? Soit elle est rouge soit elle est noire.

Avec cette expression refais ta formule des probes totales en utilisant S pour conditionner et c'est bon.

Damien

[marion1560]

c'est ca?

[DamX]

c'est ca?

Oui !

Damien