Loi de Poisson / Loi Normale Centrée Réduite

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
prisme44
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Loi de Poisson / Loi Normale Centrée Réduite

par prisme44 » 31 Oct 2012, 17:23

Bonjour à tous, quelqu'un s'y connait en loi de poisson / loi normale centrée réduite ? :id:
(ça doit être de la rigolade pour vous)

Voici l'exercice :
Un chercheur étudie l'âge moyen auquel les premiers mots du vocabulaire apparaissent chez les jeunes enfants. Son étude montre que les premiers mots apapraissent en moyenne à 11 mois avec un écart type de 3 mois, la distribution étant normale.
1/ Quelle est la probabilité pour qu'un enfant prononce ses premiers mots avant l'âge de 9 mois et demi?
2/ Quelle est la probabilité pour qu'un enfant prononce ses 1ers mots après ses 17 mois ?
3/ Entre 6 mois et un an ?

Merci d'avance :)



Sylviel
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par Sylviel » 31 Oct 2012, 17:32

Alors l'idée est relativement simple : tu dispose d'une table de ce genre de proba pour la loi centrée réduite, donc il faut t'y ramener.

Une loi normale X de moyenne m et d'écart-type s peut s'écrire :
X = m + s*N, où N est une loi centrée réduite.

Exemple : je m'intéresse à une loi normale de moyenne 2 et d'écart-type 3, et je veux connaître la proba d'être en dessous de 7. Donc j'écris
P(X<7)=P(2+3N<7)
= P(3N<7)
=P(N<7/3).

Or la probabilité que N<7/3 soit environ 2.33 est simplement F(2.33) où F est la fonction de répartition de ta loi centrée réduite (par définition) et tu en as sûrement une table quelque part.

Avec cela tu dois pouvoir résoudre sans difficulté la question 1. La question 2 nécessiteras une toute petite astuce supplémentaire je te laisse chercher. Et la question 3 aussi.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

prisme44
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par prisme44 » 31 Oct 2012, 18:44

Merci beaucoup !! Donc pour mon exercice :
X = 11 + 3N
Comme je cherche la probabilité pour qu'un enfant prononce ses premiers mots avant 9 mois et demi:
P ( 11+3N < 9,5) = P ( 3N < -1,5 ) = P ( N< -0,5)
C'est ça ?
Mais je suis devant ma feuille avec la loi normale centrée réduite mais je ne comprends pas comment lire :s

Sylviel
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par Sylviel » 31 Oct 2012, 18:58

Bah tu regarde ton tableau... Tu n'as peut-être que les valeurs positives de t, dans ce cas il faut faire jouer la symmétrie (un schéma c'est pratique). Dans tous les cas ce n'est pas évident de t'expliquer la lecture de la table sans la voir sous les yeux...

Rappel : P(Nx) --> la courbe gaussienne est symmétrique
P(N>x)=1-P(N définition d'une proba en fait

Donc ici tu as P(N<-0.5)=P(N>0.5)=1-P(N<0.5), et P(N<0.5) est sans doute dans ton tableau :D.

A toi d'essayer sur le second point de l'exercice.
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

prisme44
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par prisme44 » 31 Oct 2012, 19:11

T'es génial ! Mais c'est trop dur quoi !
Le tableau est comme cela .
Et je ne comprends pas comment faire pour lire P(N<0.5)
Suis nul ...

Sylviel
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par Sylviel » 31 Oct 2012, 19:17

Ben j'ai envie de dire fallait écouter en cours ^^.

Pour obtenir t tu ajoutes la valeur de ta ligne à celle de ta colonne, et dans la case tu lis F(t).
Merci de répondre aux questions posées, ce sont des indications pour vous aider à résoudre vos exercices.

prisme44
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par prisme44 » 01 Nov 2012, 02:44

Oui j'ai compris en fait merci ! Une toute toute dernière question :
"Une clinique reçoit des patients sans RDV. On observe qu'il y a 1000 patients par mois. La clinique est ouverte 25 jours/mois, 10h/jour.
On note X la variable aléatoire qui donne le nb de patients qui entrent dans cette clinique pendant une heure choisie au hasard."

Dans cet exo, je n'arrive pas à savoir comment faire pour trouver quelle loi suit la variable aléatoire X?
On me demande ensuite de calculer P(3Si vous y répondez vous feriez un heureux !!

Anonyme

par Anonyme » 01 Nov 2012, 11:12

@Sylviel

Je me suis permis d'essayer de répondre à la question 1) de cet exo car
prisme44 a précisé son message précédent qu'il avait tout compris (sans trop expliquer tous les calculs qu'il faut faire...)

Est ce que mon raisonnement et mes calculs sont corrects ?
Merci pour tes commentaires (ou ceux d'un autre "internaute correcteur")

Soit X la VA qui suit la loi Normale de moyenne 11 et d'écart type 3

La probabilité l'événement: "un enfant prononce ses premiers mots avant l'âge de 9 mois et demi"
est donc le résultat du calcul

Soit la nouvelle variable aléatoire
N suit la loi normale centrée réduite
On utilise cette VA N car on connait le tableau de données sur la répartition de la loi normale centrée réduite : qui permet de calculer )

Comme
et comme

D'après le tableau sur la répartition de la loi normale centrée réduite
on peut lire que : et donc on obtient : <

Et on obtient le RESULTAT suivant :

 

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