Loi normale centrée réduite

[aure555]

Bonjour, j'ai une question concernant la probabilité :

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée réduite N(0,1). Déterminer la loi de X-Y

On a donc que f(t) = . Cette loi est associté à X et Y.

Son intégrale sur vaut 1.
Mais je ne vois pas trop comment déterminer la loi de X-Y...

Pourriez-vous m'aider? Merci beaucoup

[Sa Majesté]

D'après wiki
http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale#Stabilit.C3.A9_de_la_loi_normale_par_la_somme

Les fonctions caractéristiques
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_caract%C3%A9ristique_d%27une_variable_al%C3%A9atoire

[aure555]

Ok donc comme on a la stabilité de la loi normale par la somme, j'obtiens la loi de Z = X-Y qui vaut
N(0,2) = c'est bien celà?

Et si on ne connaissait pas cette propriété (stabilité par la somme), peut-on , à partir de chacune des deux variables aléatoires retrouver X-Y?

Merci en tout cas pour l'aide

[Sa Majesté]

Wiki dit que "Cette propriété se démontre directement (par convolution), ou indirectement (au moyen des fonctions caractéristiques)."
C'est pour ça que j'ai mis le lien sur les fonctions caractéristiques.
Malheureusement je ne peux pas t'en dire plus ! :happy3:

[nuage]

Salut,
il faut noter que l'écart-type de la somme (ou de la différence) de 2 v.a. indépendantes n'est pas la somme des écart-types. C'est la variance de la somme qui est la somme des variances. (On peut penser au théorème de Pythagore).
La densité de X-Y est, dans ton cas,
car l'écart-type est

Pour ton autre question :

Et si on ne connaissait pas cette propriété (stabilité par la somme), peut-on , à partir de chacune des deux variables aléatoires retrouver X-Y?

Oui. On peut déterminer la loi de X-Y en connaissant celle de X et celle de Y et en sachant que X et Y sont indépendantes.

[aure555]

Oui. On peut déterminer la loi de X-Y en connaissant celle de X et celle de Y et en sachant que X et Y sont indépendantes.

Pourrais-tu m'indiquer le procédé à suivre en quelques lignes? Parce que un autre énoncé pourrais très bien me demander la même question avec la loi de Poisson par exemple...

Faut-il se servir alors des fonctions caractéristiques?

Merci

[nuage]

Pourrais-tu m'indiquer le procédé à suivre en quelques lignes? Parce que un autre énoncé pourrais très bien me demander la même question avec la loi de Poisson par exemple...

Faut-il se servir alors des fonctions caractéristiques?

Merci

C'est une possibilité, assez pratique.
Dans le cas de v.a. discrètes (loi de Poisson par exemple) on peut aussi se servir des fonctions génératrices définient par

Pour les lois de Poisson :
la somme (mais pas la différence) de 2 v.a. indépendantes suivant des lois de Poisson suit une loi de Poisson dont le paramètre est la somme des paramètres.

[aure555]

Ok merci beaucoup pour toute ces infos :++:

[aure555]

J'ai un énoncé que je n'arrive pas à résoudre et qui , à priori, n'utilise pas de résultat bien défini comme pour loi normal, poisson, etc...

Le voici :

Soient et deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi



pour tout réel x.
Il faut déterminer la loi de

Pourriez-vous m'aider à résoudre cet énoncé?
Merci

[aure555]

Faut-il se sert de la fonction de répartition de chacune des variables?
Si oui de quel manière?

Merci

[aure555]

Faut-il se sert de la fonction de répartition de chacune des variables?
Si oui de quel manière?

Merci

[aure555]

Faut-il seulement effectuer le produit des deux lois?

Puisqu'on a que les variables sont indépendantes... et donc f(x1,x2) = g(x1)h(x2)....

Est-ce aussi "bête"?

Merci pour l'aide apportée