Logique, exprimer "The natural number n > 1 is a prime."

[Frencheek]

Bonjour tout le monde,

je réfléchis et re-réfléchis mais il manque une pièce à mon puzzle car je ne comprends pas la solution de mon professeur (Kevin Devlin de Stanford) à cet énoncé:

c) The natural number n > 1 is a prime.

(∀p∈N)(∀q∈N)[(n=p⋅q)=>(p=1∨q=1)]

Mais si p=1 et q=6, alors n= 6 qui n'est pas premier puisqu'il est divisible par 2 et 3. Pareil avec une infinité d'autres valeurs de q.

Qu'est-ce que j'ai manqué là?

Merci pour votre aide !
Léa

[chan79]

salut
un nombre premier ne peut être que le produit de 1 et de lui-même
Par exemple:
7=7*1=1*7

[pascal16]

n>1 : (∀p∈N)(∀q∈N)[(n=p⋅q)=>(p=1∨q=1)]
le "pour tout p, pour tout q" est en fait un parcours des diviseurs de n
p=1 et n=pq dit que q =n
q=1 et n=pq dit que p =n

si tu peux écrire n sous la forme p*q
n premier =>[ (p;q)=(1;n) ou (n;1)]
réciproque, si les seuls couples (p;q) qui vérifient n=pq sont (1;n) et (n;1), n est premier.

conséquence
n non premier : il existe au moins un couple (p',q') tel que n=p'q' et que le couple ne soit ni (1;n) ni(n;1)

soit bêtement : un nombre (entier positif plus grand que 1) est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

finalement
"dans N un nombre est premier s'il admet exactement deux diviseurs" est tout aussi efficace.
lemme 1 : ces diviseurs sont 1 et lui même

et comme on est dans le supérieur, on travaille dans Z
"dans Z un nombre n est premier s'il admet exactement 4 diviseurs"
lemme 1 : ces diviseurs sont -n, -1,1 et n.

[LB2]

Bonjour tout le monde,

je réfléchis et re-réfléchis mais il manque une pièce à mon puzzle car je ne comprends pas la solution de mon professeur (Kevin Devlin de Stanford) à cet énoncé:

c) The natural number n > 1 is a prime.

(∀p∈N)(∀q∈N)[(n=p⋅q)=>(p=1∨q=1)]

Mais si p=1 et q=6, alors n= 6 qui n'est pas premier puisqu'il est divisible par 2 et 3. Pareil avec une infinité d'autres valeurs de q.

Qu'est-ce que j'ai manqué là?

Merci pour votre aide !
Léa

L'implication : Pour tous entiers p,q,n, (n premier, n=pq) => (p=1 ou q=1) est vraie.
En revanche, l'implication réciproque Pour tous entiers p,q,n, (p=1 ou q=1) => (n=pq est premier) est fausse comme tu l'as remarqué mais n'a aucune raison d'être vraie.

Souvent les erreurs de logique sont la confusion entre "si A alors B " et "A si et seulement si B"

[mattbork]

n>1 : (∀p∈N)(∀q∈N)[(n=p⋅q)=>(p=1∨q=1)]
le "pour tout p, pour tout q" est en fait un parcours des diviseurs de n
p=1 et n=pq dit que q =n
q=1 et n=pq dit que p =n

si tu peux écrire n sous la forme p*q
n premier =>[ (p;q)=(1;n) ou (n;1)]
réciproque, si les seuls couples (p;q) qui vérifient n=pq sont (1;n) et (n;1) angel number 522 espiritual n est premier.

conséquence
n non premier : il existe au moins un couple (p',q') tel que n=p'q' et que le couple ne soit ni (1;n) ni(n;1)

soit bêtement : un nombre (entier positif plus grand que 1) est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même.

finalement
"dans N un nombre est premier s'il admet exactement deux diviseurs" est tout aussi efficace.
lemme 1 : ces diviseurs sont 1 et lui même

et comme on est dans le supérieur, on travaille dans Z
"dans Z un nombre n est premier s'il admet exactement 4 diviseurs"
lemme 1 : ces diviseurs sont -n, -1,1 et n.

Vous m'avez littéralement sauvé la vie ! Merci! (j'écris un test demain)