Bonjour,
Comme devoir de vacances notre professeur nous a demandé de linéariser cos^n(x) et sin^n(x) avec les formules d'Euler et le binôme de Newton.
Je reste cependant bloqué face à la somme que l'on obtient après avoir utilisé le binôme de Newton.
cos^n(x)=(1/2^n)*somme pour k allant de 0 à n de ( (combinaisons de k parmi n)*(e^ix(n-2k) )
Je mets l'image en pièce jointe
et pareil pour sin^n(x)
Linéarisation trigonométrie
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Re: Linéarisation trigonométrie
par Ben314 » 26 Oct 2018, 15:31
Salut,
C'est (quasi) fini :
ix}=\cos\big((2n\!-\!k)x\big)+i\sin\big((2n\!-\!k)x\big))
puis tu simplifie/regroupe ce qui peut l'être du fait que\!=\!\cos(t))
et \!=\!-\sin(t))
pour tout réel 
.
Et si tu ne voit pas comment "simplifier/regrouper", regarde précisément ce que donne ta somme dans le cas n=5 par exemple
C'est (quasi) fini :
puis tu simplifie/regroupe ce qui peut l'être du fait que
Et si tu ne voit pas comment "simplifier/regrouper", regarde précisément ce que donne ta somme dans le cas n=5 par exemple
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
Re: Linéarisation trigonométrie
par mathelot » 27 Oct 2018, 18:00
avec les sommes "sigma"
cas pair:
=\dfrac{1}{2^{2n}} \left(e^{ix}+e^{-ix}\right)^{2n})
=\dfrac{1}{2^{2n}} \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} \, (e^{ix})^{2n-k} \, (e^{-ix})^{k})
=\dfrac{1}{2^{2n}} \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} \, e^{2ix(n-k)})
on coupe la somme en trois:
=\dfrac{1}{2^{2n}} \left( \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{k} \, e^{2ix(n-k)}+\binom{2n}{n}+\sum_{k=n+1}^{2n} \binom{2n}{k} \, e^{-2ix(k-n)} \right))
on fait un changement d'indice dans la seconde somme:
on pose
soit 
il vient:
=\dfrac{1}{2^{2n}} \left( \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{k} \, e^{2ix(n-k)}+\binom{2n}{n}+\sum_{m=n-1}^{0} \binom{2n}{2n-m} \, e^{-2ix(n-m)} \right))
=\dfrac{1}{2^{2n-1}} \left( \sum_{k=0}^{n-1} \binom{2n}{k} \,\cos(2x(n-k))+\dfrac{1}{2}\binom{2n}{n} \right))
cas pair:
on coupe la somme en trois:
on fait un changement d'indice dans la seconde somme:
on pose
il vient:
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