Linearisation

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Je n'arrive pas a lineariser : Intégrale (de 0a Pi) cos^n(x).cos(nx)

Pouvez vous m'aider svp
Merci d'avance

[chan79]

Tu peux déjà montrer que si n est impair, ton intégrale est nulle (symétrie de la courbe par rapport au point (pi/2;0))

[DamX]

Tu peux déjà montrer que si n est impair, ton intégrale est nulle (symétrie de la courbe par rapport au point (pi/2;0))

Hélas non la fonction est toujours "paire" par rapport au point pi/2 pour tout n. exemple pour n=1, la fonction est cos²(x).

[chan79]

Ah oui, j'avais mis - au lieu de *
Merci pour la correction

[DamX]

déjà, ça vaut

Ensuite, je ne sais pas si c'est le plus simple, mais on peut le montrer en commençant comme une linéarisation habituelle avec cos(nx) = (e(ix)+e(-ix))/2, et avec un peu d'astuce on s'en sort en 2-3 lignes avec un minimum de calculs :



donc

Comme tu sais que ton résultat est réel, c'est qu'il est égal à sa partie réelle, donc tu as en fait :


et je te laisse finir, attention à ne pas se lancer dans des gros calculs, il y a assez peu de choses à faire en regardant bien !

[Maths-ForumR]

déjà, ça vaut

Ensuite, je ne sais pas si c'est le plus simple, mais on peut le montrer en commençant comme une linéarisation habituelle avec cos(nx) = (e(ix)+e(-ix))/2, et avec un peu d'astuce on s'en sort en 2-3 lignes avec un minimum de calculs :



donc

Comme tu sais que ton résultat est réel, c'est qu'il est égal à sa partie réelle, donc tu as en fait :


et je te laisse finir, attention à ne pas se lancer dans des gros calculs, il y a assez peu de choses à faire en regardant bien !

Merci !!
A ce stade on peut faire une integration par parties ou il y a plus simple ?

[Ben314]

Salut,
Perso, une fois arrivé là

j'aurais continué dans la même "veine" en écrivant que puis directement intégré les différents , mais ça va dépendre de si on a vu ou pas la définition des intégrales de fonctions à valeurs complexes...

Mais même si on ne les as pas vues, on s'en sort en prenant (de nouveau) les parties réelles des différents biniou qui apparaissent dans la somme : on a quand même gagné qu'il n'y a plus que des cos à intégrer et pas de produits de cos.

[DamX]

Merci !!
A ce stade on peut faire une integration par parties ou il y a plus simple ?

non pas besoin, ici soit tu utilises directement (en faisant attention) le fait que que tu as du voir passer si tu as déjà eu un cours sur les séries de fourier par exemple. Sinon, tu utilises la formules .

PS : ou sinon comme dit Ben ça marche très bien, ma façon allait vite surtout si tu connaissais l'orthogonalité des cosinus car ça dégage quasiment tous les termes de la somme directement.

[Maths-ForumR]

Avec la formule cos(a).cos(b) il me reste ceci dans mon intégrale :
Cos(2kx)+cos(2kx-2nx) dx
Mais après je peu faire la somme des intégrale mais je suis encore bloquée

[DamX]

Avec la formule cos(a).cos(b) il me reste ceci dans mon intégrale :
Cos(2kx)+cos(2kx-2nx) dx
Mais après je peu faire la somme des intégrale mais je suis encore bloquée

l'intégrale de cos(2px) sur [0,pi] ne vaut-elle pas 0 sauf si p = 0 ?

[Maths-ForumR]

Oui donc il me reste cos(2kx-2nx) dx en calculant l'intégrale je ne retombe pas du tout sur le résultat attendue

[DamX]

Oui donc il me reste cos(2kx-2nx) dx en calculant l'intégrale je ne retombe pas du tout sur le résultat attendue

Cos(2kx-2nx) = Cos(2(k-n)x) et son intégrale vaut 0 sauf si k=n.
Où est ton problème exactement ?

[Maths-ForumR]

J'ai fais ça, mais on on retombe pas sur pi/2 alors je nais pas de ou dans mon expression

[Maths-ForumR]

J'ai fais ça, mais on on retombe pas sur pi/2^n alors je nais pas de Pi dans mon expression

[DamX]

J'ai fais ça, mais on on retombe pas sur pi/2^n alors je nais pas de Pi dans mon expression

ben si, tous tes termes sont nuls sauf le cos(0x) et le cos((n-n)x) qui valent 1 et dont l'intégrale entre 0 et pi vaut pi, que multiplie le 1/2 de la formule (cos(a)cos(b) = 1/2(...)) ça veut donc dire que la somme des intégrales vaut pi. Et avec le facteur 1/2^n qui était devant on a bien pi/2^n.

Si tu n'écris pas ce que tu as fait exactement pour savoir où ça bloque je ne vois pas quoi dire plus.

[Maths-ForumR]

ben si, tous tes termes sont nuls sauf le cos(0x) et le cos((n-n)x) qui valent 1 et dont l'intégrale entre 0 et pi vaut pi, que multiplie le 1/2 de la formule (cos(a)cos(b) = 1/2(...)) ça veut donc dire que la somme des intégrales vaut pi. Et avec le facteur 1/2^n qui était devant on a bien pi/2^n.

Si tu n'écris pas ce que tu as fait exactement pour savoir où ça bloque je ne vois pas quoi dire plus.

Mais quand on primitive les Cos on troue des sinus et sin(0)=0 idem pour sin(Pi)

[Maths-ForumR]

En fait j'ai du mal avec les primitive je n'y arrive pas

[DamX]

En fait j'ai du mal avec les primitive je n'y arrive pas

ben si ça fait bien du sinus que tu prends entre 0 et mPi donc ça fait 0, c'est bien ça. désolé mais je ne vois pas où est ton problème..

[Maths-ForumR]

ben si ça fait bien du sinus que tu prends entre 0 et mPi donc ça fait 0, c'est bien ça. désolé mais je ne vois pas où est ton problème..

Ah bien en faite je trouve que mes deux intégrale font 0 donc je n'ai pas de terme Pi
Désolé je n'arrive pas a écrire mes calcule pcq je suis que mon téléphone et c'est imcomprehsible :/

[DamX]

Ah bien en faite je trouve que mes deux intégrale font 0 donc je n'ai pas de terme Pi
Désolé je n'arrive pas a écrire mes calcule pcq je suis que mon téléphone et c'est imcomprehsible :/

Presque toutes les intégrales font 0 oui. Sauf 2. Celle en Cos(2kx) pour k=0 Parce que dans ce cas ca fait Cos(0*x)=1 qui se primitive en x et non en sin, et ca te donne un pi. Et l'autre terme c'est le Cos(2(k-n)x) pour k=n qui vaut aussi 1 et donne un autre pi.

Et voila