Limite de suite

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un petit problème:
Je considère n-1 réels donnés vérifiant
u(1)< u(2)< ...et les u(k) pour k>n-1 sont définis par
u(k) = (u(k-1)+u(k-2)+...+u(k-n+1))/(n-1) soit la moyenne des n-1 termes précédents.

Je ne vois pas vraiment comment montrer que u(k) tend vers
(u(1)+2*u(2)+...+k*u(k))/(1+2+...+k) ??
Merci pour votre aide!

[Anonyme]

Petite erreur, la limite doit biensûr être:
(u(1)+2*u(2)+...+(n-1)*u(n-1))/(1+2+...+(n-1))

[danskala]

Salut,
j'ai réussi à démontrer que


J'en déduis que si la suite converge vers une limite , alors les sous-suites convergent aussi vers .

Ainsi on a, en passant à la limite :



d'où


Il me reste donc à montrer que la suite converge !

On peut montrer que
La suite admet donc une sous-suite convergente.

Mais je n'arrive pas à aller plus loin.
Il ne me semble pas que la suite soit monotone.
Je suis bloqué ici.

Si quelqu'un voit un argument pour montrer que la suite converge, je suis preneur.
Ou peut-être y a -t-il une tout autre méthode pour montrer en même temps que la suite converge et que sa limite est .
(jai formé et essayé de le majorer, mais sans succès)

Par avance merci.
:happy2: