Limite suite

[Pseuda]

Bonsoir,

Encore une affirmation dans un livre pas démontrée. Soit une suite réelle avec pour tout n et telle que --> 0. Comment en déduit-on que --> 0 ? Merci d'avance.

(J'ai fait l'étude avec la fonction qui est bijective, avec sa fonction réciproque, mais bof je me demande s'il n'y a pas plus simple).

[aviateur]

Tu peux raisonner par l'absurde. Si la suite (u_n) ne tend pas vers 0 alors ..
il existe un réel a>0 et une sous suite de (u_n) (que je note encore (u_n) par soucis de simplicité) telle que
pour tout n. Il vient
Ce qui conduit à une contradiction

[Ben314]

On sait que x.|ln(x)| -> 0 lorsque x->0 donc elle est continue sur [0,1] (une fois prolongée par 0 en 0) donc majorée par un certain M (qu'on pourrait éventuellement calculer explicitement, mais à part faire perdre du temps, ça sert à rien...)
Donc x/|ln(x)| >= x^2/M >= 0 et la C.V. de Un/ln(Un) vers 0 implique celle de Un^2/M vers 0 qui implique celle de Un vers 0.

[Pseuda]

Merci beaucoup @aviateur. Ça marche. Ta démonstration (directe) est rigoureuse, mais pas simple non plus.

En raisonnant par l'absurde, j'étais partie à vouloir démontrer que la suite (un*vn) tend vers 0 seulement si au moins l'une des 2 suites tend vers 0, mais aucun théorème ne le dit et je ne sais même pas si c'est vrai.

Pas lu encore ton message, Ben314.

[Lostounet]

En raisonnant par l'absurde, j'étais partie à vouloir démontrer que la suite (un*vn) tend vers 0 seulement si au moins l'une des 2 suites tend vers 0, mais aucun théorème ne le dit et je ne sais même pas si c'est vrai.

Ceci n'est pas toujours vrai en prenant u(n)=1 en n pair et 0 sinon et v(n)=1 en n impair et 0 sinon.
Mais si on sait que les deux suites sont convergentes...

[Pseuda]

Merci pour vos réponses !

@Lostounet En effet. Si les 2 suites ont une limite : dans ce cas, il faut qu'une au moins des suites tende vers 0. Mais cette démo ne marcherait pas pour le problème présent.

@Ben314 Pas mal. Mais pas immédiat non plus. Le problème de ces raccourcis dans les livres, c'est qu'on se demande si on ne passe pas à côté d'un théorème ou d'une évidence.