Limite de suite.

[Deluxor]

Bonsoir à tous !

Voici un exercice dont le but est de déterminer

On pose :

J'ai déterminé précédemment :

De là, il me faut déduire :

J'ai commencé par dire que comme , alors : , c'est-à-dire : .

Mais je ne vois pas comment poursuivre...

Merci d'avance!

[Anonyme]

Bonjour
Comme le langage "Latex" ne fonctionne pas encore , voici l'énoncé que tu as codé

Voici un exercice dont le but est de déterminer \lim_{x \to + \infty } \frac{10^n}{n!}

On pose : \forall n \geq 0, \epsilon_n = \frac{10^n}{n!}

J'ai déterminé précédemment : \lim_{x \to + \infty } \frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n}=0

De là, il me faut déduire : \exists n_0 \geq 0, \forall n \geq n_0, \epsilon_n \leq \frac{1}{2^{n-n_0}} \epsilon_{n_0}

J'ai commencé par dire que comme \lim_{x \to + \infty } \frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n}=0, alors
: \exists n_0 \geq 0, \forall n \geq n_0, \frac{\epsilon_{n+1}}{\epsilon_n} \leq \frac{1}{2}

, c'est-à-dire : \exists n_0 \geq 0, \forall n \geq n_0, \epsilon_{n+1} \leq \frac{1}{2^{(n+1)-n)} \epsilon_n.
Mais je ne vois pas comment poursuivre...

Tu peux continuer car tu sais qu'il existe n0 tel que pour tout nombre n >= n0 alors
epsilon{n}/epsilon{n-1} <=1/2
epsilon{n-1}/epsilon{n-2} <=1/2
epsilon{n-2}/epsilon{n-3} <=1/2
.....
epsilon{n0+1}/epsilon{n0} <=1/2

et en multipliant toutes ces inégalités entre elles (qui sont sur des nombres positifs)
on obtient epsilon{n}/epsilon{n0} <= (1/2)^{n-n0}